Сергей Абабков родился в 1961 году в селе Ромны Амурской области. В 1984 году с отличием окончил Благовещенский сельскохозяйственный институт, получил специальность инженера-механика. По распределению попал на Сахалин.
До 1994 года работал в Анивском совхозе, затем перешел трудиться в военный совхоз в селе Петропавловское, был назначен директором. С 1999 году два года работал в администрации Анивского района первым вице-мэром.
С 2004 года назначен заместителем директора, а с 2005 года – главой дирекции Курильской программы, Управления развития Курильских островов.
В 2012 году с отличием окончил Российскую академию государственной службы при президенте РФ по направлению «Государственное регулирование рыночной экономики». В конце 2012 года, за достигнутые трудовые успехи и многолетнюю плодотворную деятельность награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.
Сергей Александрович с 2008 по 2015 год руководил Управлением, а затем Агентства управления развития Курильских островов, планирования и контроля капитальных вложений.
С занимаемого поста ушел в отпуск с последующим увольнением 20 мая 2015 года. На посту руководителя агентства по развитию Курильских островов и инвестиционных программ Сахалинской области его сменил Валерий Сордонов.