Эдуард Абзалимов родился 9 марта 1984 года в городе Миасс, Челябинская область. Активно заниматься боксом начал в возрасте девяти лет в Челябинском центре олимпийской подготовки, позже присоединился к «Динамо», где тренировался у заслуженного тренера Валерия Проскурякова. Первого серьезного успеха на ринге добился в 2001 году, когда выиграл юниорские первенства России и Европы.
В следующем сезоне вновь стал лучшим среди российских юниоров, кроме того, одержал победу на юниорском чемпионате мира. В 2003 году победил на турнире «Олимпийские надежды», год спустя дебютировал на взрослом первенстве страны, получив серебряную медаль. В 2005 году повторил это достижение, попал в число победителей командного Кубка мира.
Переломный момент в карьере Абзалимова наступил в 2008 году, когда он завоевал золото на чемпионате России и благодаря этой победе стал попадать в основной состав сборной на крупнейших международных турнирах. На чемпионате мира 2009 года в Милане в легчайшем весе сумел дойти до финала, но в решающем матче уступил болгарину Детелину Далаклиеву.
В 2010 году занял первое место на чемпионате Европы в Москве, победив в финале действующего чемпиона украинца Георгия Чигаева - за эту победу удостоен почетного звания «Заслуженный мастер спорта России». В 2011 году Эдуард Абзалимов был на первенстве России лишь третьим, поэтому утратил лидирующие позиции в сборной. Ныне выступает за московское «Динамо» в полупрофессиональной боксерской лиге WSB. Окончил Уральскую государственную академию физической культуры. Женат, есть сын.