Адам Драйвер родился 19 ноября 1983 года, в городе Сан-Диего, штат Калифорния. Вырос в семье Нэнси Райт Нидхэм, помощника юриста, и Джо Дугласа Драйвера. Адам посещал среднюю школу в Мишавоке и закончил её в 2001 году. Он участвовал в нескольких школьных постановках и был одним из лучших в школьном хоре.
После получения аттестата зрелости, Драйвер поступил в Корпус морской пехоты, где стал миномётчиком 1-го батальона 1-го полка 1-й дивизии. Он прослужил 2 года и 8 месяцев, когда был комиссован после тяжёлого перелома грудной клетки, полученного на маунтинбайке.
Обучался в Университете Индианаполиса, прежде чем поступить в Джульярдскую школу, которую окончил в 2009 году. В 2010 году он дебютировал на бродвейской сцене в постановке «Профессия миссис Уоррен», после чего начал свою карьеру на телевидении и в кино. Позже он играл в таких постановках как «Ангелы в Америке», «Мальчик и мужчина», «Гневно оглянуться» и «Несущий возмездие». Актер перестал выходить на профессиональную театральную сцену в 2012 году, но продолжил выступать в некоммерческих спектаклях.
Дебют Адама Драйвера, на экранах, начался в 2010 году с роли Глена Стенсона в телевизионном фильме «Вы не знаете Джека», в котором блистал звезда американского кино Аль Пачино. В том же году Драйвер снялся в сериале «Закон и порядок» в серии «Блестящая маскировка».
С тех пор он появился в кинофильмах «Дж. Эдгар», «Линкольн» и «Внутри Льюина Дэвиса», прежде чем получить главную роль в предстоящем фильме «Дальше живите сами», наравне с Конни Бриттон, Тиной Фей, Джейн Фондой и Джейсоном Бейтманом.
В сентябре 2014 года был удостоен главного актёрского приза Венецианского кинофестиваля, кубка Вольпи, за работу в итальянской драме «Голодные сердца». 30-летний актёр победил своих основных соперников киноэкрана Аль Пачино, Уиллема Дефо и Майкла Китона.
Наиболее значимая работа на данный момент - фантастическая сага «Звёздные войны: Пробуждение силы». Драйверу досталась главная отрицательная роль - нового персонажа по имени Кайло Рен.
В 2005 году во время обучения в актерской школе «Джульярд» Адам Драйвер познакомился с начинающей актрисой Джоан Такер. Молодые люди встречались почти 8 лет, а летом 2013 года официально оформили свои отношения.