Ахмед Муса родился 14 октября 1992 года в городе Джос, Нигерия. Начал заниматься футболом в футбольной академии «Аминчи». В 2008 году на правах аренды выступал за команду Джосинского медицинского университета JUTH. За команду Ахмед сыграл 18 матчей и четыре раза поразил ворота соперников.

В 2009 году футболист отправился в свою вторую аренду, в команду «Кано Пилларс». За сезон 2009/2010 сыграл за клуб в 25 матчах, забив в них 18 голов, тем самым установив новый рекорд Чемпионата Нигерии по количеству забитых мячей за сезон. По окончании сезона 2010/2011 года рекорд футболиста побил другой нигерийский форвард, Джуде Анеке, забив 20 голов.

Следующим клубом в карьере футболиста стал нидерландский «ВВВ-Венло», куда перешёл летом 2010 года. Так как футболисту на тот момент было только 17 лет, в соответствии с действующими правилами ФИФА, Ахмед мог начать выступать за новый клуб не ранее 14 октября 2010 года, когда ему исполнилось 18 лет. Дебютировал за свою новую команду 30 октября. В тот день его клуб на своем поле принимал «Гронинген». На 50 минуте матча Муса заработал пенальти, реализованный марокканец Ахмед Ахаауи.

Весной 2011 года спортивный директор «ВВВ-Венло» Марио Каптейн сообщил о том, что на  футболиста имеют виды скауты «Тоттенхэма» и «Аякса». В матче с «Фейеноордом», 1 мая, футболист сделал дубль и отдал одну голевую передачу, благодаря чему его команда победила со счетом 3:2 и сняла с себя все опасения о вылете из Высшей лиги Нидерландов. Всего в сезоне 2010/2011 года провел за «Венло» 23 матча, отметился пятью забитыми мячами.

Сразу после возвращения с молодёжного Чемпионата Мира, 21 августа, Муса смог принять участие в матче третьего тура Чемпионата Нидерландов 2011/2012 с амстердамским «Аяксом». Ахмед забил в этой игре 2 мяча, благодаря которым его команда вела в счете 2:0, но не смогла удержать преимущество и за 2 минуты пропустила 2 мяча. Итогом встречи стал счет 2:2. В декабре 2011 года спортивный директор «Венло» заявил о том, что Мусой интересуются клубы из Англии, Германии и России.

Клуб «Венло» 7 января 2012 года объявил о достижении договоренности с Московским Профессиональным Футбольным клубом ЦСКА по поводу перехода Ахмеда в стан «армейцев». В ЦСКА получил игровой номер «18». В феврале дебютировал за армейцев в Лиге Чемпионов в матче с мадридским «Реалом». Провел на поле 64 минуты, после чего Леонид Слуцкий заменил его на Секу Олисе.

В матче с «Зенитом» 3 марта состоялся дебют Ахмеда в российской Премьер-Лиге. Футболист вышел на поле в стартовом составе. На 68 минуте встречи забил гол, благодаря которому «армейцы» сравняли счет, 2:2. На 89 минуте игры вместо Мусы на поле вышел Ким Ин Сон. В первой части сезона 2012/2013 года, в связи с серьёзными травмами Сейду Думбия и Томаша Нецида Муса стал основным центральным нападающим ЦСКА. В матче с «Кубанью» оформил дубль. В первой же игре весенней части Чемпионата забил в ворота «Крыльев Советов». Всего в сезоне забил 11 мячей, став лучшим бомбардиром ЦСКА и третьим бомбардиром Чемпионата.

Муса выиграл в составе ЦСКА Чемпионат и Суперкубок России в сезоне 2013/2014 года, весь сезон являясь игроком основы. Клубный успех позволил ему закрепиться в основе национальной сборной Нигерии, с ней поехал на Чемпионат Мира, где стал лучшим бомбардиром команды. В июне 2015 года продлил контракт с ЦСКА до лета 2019 года. В том же году получил национальную награду «The Nigeria Pitch Award» в номинации «Футбольный нападающий года»

В январе 2018 года стало известно, что футболист на правах аренды до конца сезона вернулся в ЦСКА. По словам директора ЦСКА Романа Бабаева, клубы договорились о бесплатной аренде. В команде взял 7 номер, ранее принадлежавший Зорану Тошичу.

На стадионе «ВЭБ Арена» в городе Москва, 3 марта 2018 года состоялся матч 21 тура Чемпионата России по футболу среди команд Премьер Лиги. Встречались футбольные клубы ЦСКА города Москва и «Урал» из города Екатеринбург Свердловской области. Результатом встречи стала победа Московской команды со счетом 1:0.