Александр Акопов родился 22 ноября 1957 года в городе Москва. После окончания школы поступил в Московский инженерно-строительный институт, который окончил в 1979 году. Во время учебы в институте играл в «КВН». После окончания института поступил в аспирантуру и написал диссертацию по системам автоматизации проектирования. Преподавал на кафедре архитектуры МИСИ.
С 1979 года работал в гражданском строительстве в качестве мастера, прораба.
В 1980 году Акопов организовывает студенческий театр «СНИП», с 1981 года начинает писать телесценарии, участвует в программах Центрального телевидения «Веселые ребята» и «КВН».
В 1986 году его пригласили в Молодежную редакцию Центрального телевидения, где он занимал должность редактора программы «КВН». Работал над программами «Великолепная семерка», «Раз в неделю», «Деловая Россия».
В 1988 году создал компанию «Игротехника» - одну из первых негосударственных компаний, занимавшихся производством телевизионных программ и рекламных материалов.
В 1992 году совместно с Юрием Заполем, Михаилом Лесиным и другими Акопов становится учредителем компании «Видео Интернешнл», которая занималась производством рекламы. C апреля по ноябрь того же года работал на телеканале PBS в качестве ответственного продюсера специального проекта.
В 1994 году был ведущим программы «Великолепная семерка».
С 1994 по 1996 год Александр Акопов являлся заместителем директора телеканала «ТВ-Новости». Организовал и возглавлял информационный канал «Деловая Россия» телеканала «Россия». В рамках данного канала вел передачу «Форум».
С 1996 года Акопов становится директором продюсерского центра телеканала «Россия». Принимал участие в запуске в эфир телеканала таких известных телепередач, как «Аншлаг», «Моя семья», «Горячая десятка» и др.
C августа 1997 по февраль 2002 года занимал пост генерального продюсера и генерального директора телеканала «Россия», а также заместителя председателя ВГТРК.
В 2002 году создал и возглавил компанию «Амедиа», в составе которой - производственная и дистрибьюторская компании, а также построенный компанией студийный комплекс в Москве.
С 2005 года партнером компании является промышленно-финансовая группа Access Industries Леонарда Блаватника. Летом того же года покинул пост президента «Амедиа» и совместно с Наталией Шнейдеровой создал продюсерскую компанию COSMOS studio.
Александр Акопов стал одним из инициаторов создания Ассоциации продюсеров кино и телевидения. В 2013 году избран Председателем Правления АПКиТ.
Акопов открыл мастерскую по специальности «Продюсирование в кино и телевидении» во ВГИК имени С.А.Герасимова. Автор спецкурса «Основы мастерства продюсера», мастер курса ВГИК имени Герасимова, доцент кафедры сценарного мастерства и искусствоведения «Института повышения квалификации работников телевидения и радиовещания».
С декабря 2013 года - президент Фонда «Академия Российского телевидения».
Александр Акопов реализовал более 100 проектов, среди которых сериалы «Простые истины», «Марш Турецкого», «Закон», «Бригада», «Идиот», «Бедная Настя», «Моя прекрасная няня», «Грехи отцов», «Не родись красивой», «Талисман любви», «Люба, дети и завод...», «Адъютанты любви», «Кто в доме хозяин?», «Любовь как любовь», «Татьянин день», «Одна ночь любви», «Монтекристо», «Жизнь, которой не было», «Общая терапия», «Закрытая школа», Не плачь по мне, Аргентина!, «Ангел или демон» и многие другие.
Проекты Александра Акопова удостаивались многочисленных призов Академии российского телевидения «ТЭФИ», в том числе четырежды - в номинации «Лучший продюсер». На Международном кинофестивале в Сан-Себастьяне в 2002 году приза за лучший сценарий и лучшую операторскую работу удостоен художественный фильм «Любовник».
Александр Акопов известен своей исковой деятельностью, а также эпатажными заявлениями. Так, в октябре 2010 года, он подал иск против своей же компании «Амедиа» и выиграл его. В том же году Акопов, выступая на круглом столе по проблемам борьбы с интернет-пиратством, недовольный разгулом пиратства в социальной сети, заявил о том, что около 30 миллионов пользователей «ВКонтакте» - уголовники.