Александр Завадский родился 16 декабря 1899 года в городе Бендзин, Польша. С 1915 года являлся рабочим по найму в сельском хозяйстве, затем в металлургии и шахтах. В 1922 году стал членом Коммунистического союза молодежи Польши, а через год вступил в Коммунистическую партию Польши. За свою революционную деятельность неоднократно арестован и провел в тюрьме свыше одиннадцати лет.
С 1939 года Завадский участвовал в организации Союза польских патриотов и Войска Польского. В период с 1944 по 1945 год являлся начальником штаба партизан в Польше и заместителем командующего Войска Польского по политической части. Занимал должность замполита 1-й Варшавской пехотной дивизии Армии Людовой. Имел звание бригадного генерала.
После окончания Второй мировой войны Александр Завадский находился в должности уполномоченного правительства в Силезии, затем - воеводой Силезско-Домбровского воеводства. В декабре 1948 года стал членом Центрального комитета и Политбюро Центрального комитета Польской объединенной рабочей партии. С 1949 по 1952 год являлся заместителем председателя Совета Министров.
Впоследствии 20 ноября 1952 года Завадский стал Председателем Государственного совета Польской народной Республики.
Умер Александр Завадский 7 августа 1964 года. Похоронен на кладбище Воинское Повонзки.