Андрей Алексеев родился 1 марта 1995 года в городе Москва. Хоккеем начал заниматься в четыре года, в Детско-Юношеской Спортивной Школе - «Марьино». Первым тренером юного хоккеиста являлся Анатолий Семенович Заплаткин. Позднее в 2005 году, когда Алексееву исполнилось 10 лет, поступило предложение от Андрея Владимировича Капранова попробовать свои силы в СДЮШОР имени Чернышева «Динамо».
По итогам сезона 2010/2011 года, в Открытом чемпионате Москвы, Алексеев Андрей признан лучшим нападающим среди игроков 1995 года рождения. В 2012 году, уехал в Северную Америку, в лигу Онтарио «Saginaw Spirit», где провел два сезона, после чего вернулся в родной клуб.
С 2014 года, выступал за хоккейный клуб «ХК МВД» и «Динамо» из города Балашиха. С сезона 2014/2015 года, регулярно привлекался в основную команду, где провел пять игр. В сезоне 2015/2016 года, провел 16 игр, из которых половина - в рамках плей-офф, в сезоне 2016/2017 года провел всего одну игру.
На начало сезона 2017/2018 года, Алексеев Андрей является нападающим в основном составе хоккейного клуба КХЛ «Динамо» Москва.