Николай Алешин родился 10 августа 1941 года в селе Нармушадь, Рязанская область. Высшее образование получил в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана, по программе «Оборудование и технология сварочного производства».
С 1968 года работает на кафедре сварки МГТУ имени Н.Э. Баумана. За время работы прошел путь от инженера до профессора, заведующего кафедрой.
В 1992 году избран президентом Национального агентства контроля сварки. Является заместителем председателя национального комитета по сварке. Член бюро межгосударственного Совета СНГ по сварке и родственным технологиям. Возглавляет секцию Научно-технического совета «Газпрома».
Николай Павлович занимает пост Директора научно-учебного центра «Сварка и контроль». Дейстительный член Российской академии наук. Входит в состав Международной инженерной академии, Российской Инженерной Академии, Президиума некоммерческого предприятия «ОПОРА». Автор около 150 научных работ, в том числе 13 монографий и 5 учебных пособий. Является руководителем двух межвузовских программ, в работе которых участвуют около 40 ВУЗов и организаций России.
Алешин разработал новые технологии сварки металлов, сплавов и композиционных материалов, математические модели и трехконтурные автоматизированные системы для сварки плавлением. Создал теорию дифракции упругих волн в твердотельном приближении для коротковолновых отражателей. Сформулировал физическую модель и дал математическое описание акусто-сварочной модели крупнозернистых материалов. Предложил и реализовал метод решения задачи рассеяния акустического поля на групповых отражателях.
Николай Павлович удостоен Почетного звания «Заслуженный деятель науки РФ», орденов Дружбы и Почета, ордена «За заслуги перед Отечеством» IV степени. Лауреат премий: Совета Министров СССР; Правительства РФ в области науки и техники; «Рентген-Соколов».