Александр Йен Шарп родился 2 февраля 1989 года в городе Лондон, Англия. Его родители работали в сфере недвижимости, а после того как отец вышел на пенсию они вместе с маленьким Александром и его старшей сестрой Николь много путешествовали.
По настоянию матери, Алекс получал домашнее образование, но в итоге все равно стал посещать школу. Актером мальчик метал стать с детства, по этому очень часто играл в школьных постановках, создавая любительскую оперетту и пантомиму. В более старшем возрасте он работал в театре Northcott в Эксетере, изучал актерское мастерство в Йовилском колледже в Йовил, Сомерсет и учился в Сидмутском колледже в Девоне. Затем Алекс переехал в США.
В 2014 году окончил Джульярдскую школу, после чего дебютировал на Бродвее в спектакле «The Curious Incident of the Dog in the Night-Time in the autumn» / «Любопытный инцидент собаки в ночное время в осенний период» в роли аутичного подростка Кристофера Буна. За эту роль Алекс Шарп был удостоен премии Тони в номинации «Лучшая мужская роль в пьесе». Тогда, в сентябре 2015 года, он являлся самым молодым лауреатом премии в этой номинации.
В кино Алекс дебютировал в 2017 году, исполнив главную роль в фильме «Как разговаривать с девушками на вечеринках». В том же году с его участием состоялась премьера драмы «До костей», а в следующем году актер приступил к съемкам в фильмах «UFO», «Отпетые мошенники» и «Лучшее начало работы».