Мурад Алиев родился 24 октября 1984 года в городе Махачкала, Республика Дагестан. После школы, окончил юридический факультет Дагестанского государственного университета. Второе высшее образование получил на факультете нефти, газа и природообустройства Дагестанского государственного технического университета.

Мурад Магомедович работал юристом в Межрегионгазе, помощником руководителя Западно-Каспийского территориального управления Росрыболовства, где ему присвоили классный чин государственной гражданской службы Российской Федерации «Советник государственной гражданской службы 1-го класса». Также, занимал пост начальника Махачкалинского межрайонного отдела рыбоохраны Западно-Каспийского территориального управления.

С 2014 года на протяжении трех лет Мурад Алиев являлся заместителем главы администрации Советского района Махачкалы, где руководил работой Управления по жилищным вопросам, Управления муниципального жилищного контроля, Управления административно-технической инспекции, МКУ «Управление жилищно-коммунального хозяйства города Махачкалы», МКУ «Городская аварийно-ремонтная служба», МБУ «Служба городской очистки» города Махачкалы, МБУ «Инженерные сети города Махачкалы»; МУП «Питомец», МУП «Горзеленхоз».

В апреле 2017 года занял должность Заместителя главы администрации города Махачкалы.

После отстранения мэра Абусупьяна Гасанова 8 ноября 2018 года, Мурад Алиев назначен временно исполняющим обязанности мэра Махачкалы.

Мурад Магомедович с 5 декабря 2018 года отправлен в отставку, уступив место Дадаеву Салману Кадиявовичу.

С 31 января 2019 года Алиев занимал пост заместителя главы муниципального образования городской округ «город Махачкала».

Премьер-министр Правительства Республики Дагестан Артем Здунов 5 июня 2019 года подписал распоряжение о назначении Мурада Алиева Первым заместителем министра строительства и жилищно-коммунального хозяйства республики.

Женат, воспитывает двоих детей.