Борис Алмазов родился 5 августа 1944 года в городе Санкт-Петербург. Через три месяца после его рождения вся семья переезжает на Дон. Отец погибает на фронте, а мать после войны остается инвалидом с серьезными повреждениями позвоночника. Из-за тяжелого материального положения семьи Борис уже после 9 класса средней школы работает на заводе слесарем и токарем.

В армии служил в воздушно-десантных войсках.

Побывав в начале 1960 годов на концерте Булата Окуджавы, Алмазов начал писать свои собственные песни. Одними из первых известных его песен стали «Мальчик-дождик» и «Песня про собаку».

С 1962 по 1968 год Алмазов учится в Ленинградском государственном институте театра, музыки и кинематографии. Примерно в это же время Борис Александрович увлекся журналистикой, а также подрабатывает в разное время грузчиком, геологом и массажистом в больнице.

После окончания вуза преподает в школе дисциплину «История искусств». Проработав около 20 лет в школе, Алмазов разработал собственную методику преподавания этой дисциплины, и, опубликовав ряд научных работ, стал членом Российского педагогического общества как один из лучших специалистов в области истории искусств.

В 1990 году Алмазов начал участвовать в возрождении казачества и постепенно стал почти что идеологом российского «Союза казаков». Сначала его избирают первым атаманом в Санкт-Петербурге, а после Северо-Западного Округа «Союза казаков».

Помогая переселенцам с Крайнего Севера, Алмазов разработал специальную программу, которую представил правительству Республики Коми. В правительстве республики программу утвердили, и в результате ее исполнения были получены положительные результаты. Обратив внимание на эффективную работу Алмазова, в 1996 году по решению правительства республики в Санкт-Петербурге появляется Представительство Республики Коми в Северо-Западном регионе во главе с Алмазовым в должности министра. На этой должности Алмазов пробыл до 2002 года.

Дочь - Александра Алмазова, лидер популярной группы Non Cadenza.