Алексей Анохин родился 17 марта 1922 года в селе Канино Канинской волости Сапожковского уезда Рязанской губернии. В 1937 году окончил начальную школу в родном селе. С 1938 года жил в городе Люблино (ныне в черте Москвы). В 1939 году окончил Люблинское железнодорожное ремесленное училище и Люблинский аэроклуб.
В Красной Армии с 1939 года. В декабре 1940 года окончил Кировабадскую военную авиационную школу лётчиков.
На фронтах Великой Отечественной войны с июля 1941 года. лётчик отдельного авиационного полка особого назначения ВВС Красной Армии. На самолётах Ли2 и ТБ3 осуществлял доставку грузов на передовую и к подпольщикам на оккупированную противником территорию.
В августе 1942 - ноябре 1944 годов - лётчик и командир звена 119-й отдельной разведывательной авиационной эскадрильи (Карельский фронт). Участвовал в обороне Заполярья, Свирско-Петрозаводской и Петсамо-Киркинесской операциях. Совершил 232 боевых вылета на самолётах Пе-2 и Пе-3 на разведку и фотографирование войск противника в глубоком тылу противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1944 года за мужество и героизм, проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, старшему лейтенанту Анохину Алексею Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
До августа 1945 года продолжал службу в отдельной разведывательной авиаэскадрилье командиром звена (в Ярославле). В августе 1945 - феврале 1946 годов - командир звена учебного смешанного авиаполка Военно-воздушной академии.
В мае 1951 года окончил Военно-воздушную академию, в октябре 1951 года - курсы офицеров разведки при Военно-воздушной академии.
С 1951 года продолжал службу в ВВС заместителем командира отдельного разведывательного авиаполка по лётной подготовке (в Центральной группе войск в Австрии и Одесском военном округе).
В 1954 - 1958 годах - командир бомбардировочных авиаполков в Одесском военном округе и в ДВО на острове Сахалин.
В 1958-1962 годах служил в Военно-воздушной академии преподавателем кафедры тактики авиации. В 1964 году окончил адъюнктуру при Военно-воздушной академии. Продолжал службу в Военно-воздушной академии старшим преподавателем кафедры боевой подготовки и безопасности полётов и старшим научным сотрудником научно исследовательской группы по исследованию оперативного искусства ВВС и истории авиации. С марта 1978 года полковник А.В.Анохин - в запасе.
Жил в Москве, скончался 11 июня 2010 года. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, 2-мя орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» 3-й степени, медалями «За отвагу», «За боевые заслуги» и другими медалями.
В Москве на доме, в котором он жил, установлена мемориальная доска.