Роман Аношкин родился 31 августа 1987 года в городе Пушкино Московской области. Активно заниматься греблей начал в возрасте одиннадцати лет, проходил подготовку в секции гребли на водной базе «Серебрянка» под руководством супругов Игоря и Маргариты Зубалий. Позже присоединился к ЦСКА и стал подопечным тренера Александра Шишкина. На юниорском уровне побеждал на первенствах Европы и мира, в 2008 году вошёл в состав российской национальной сборной.

Впервые заявил о себе в сезоне 2013 года, став чемпионом России среди четырёхместных байдарок на дистанции 200 метров, а также получив серебряную и две бронзовых награды всероссийского первенства.

Первого серьезного успеха на взрослом международном уровне добился в 2015 году, когда побывал на чемпионате мира в Милане и привёз оттуда награду бронзового достоинства, выигранную среди одиночных байдарок на дистанции 500 метров. Год спустя выступил на домашнем чемпионате Европы в Москве, где стал серебряным призёром в километровой гонке четырёхместных экипажей.

Благодаря череде удачных выступлений удостоился права защищать честь страны на летних Олимпийских играх 2016 года в Рио-де-Жанейро - в программе одиночных байдарок на пятистах метрах благополучно пробился в финал и завоевал бронзовую олимпийскую медаль. В километровой гонке четырёхместных экипажей не попал в финал, заняв в полуфинальной стадии лишь четвёртое место.

За выдающиеся спортивные достижения удостоен почётного звания «Заслуженный мастер спорта России». В августе 2016 года награжден медалью ордена «За заслуги перед отечеством» II степени - за высокие спортивные достижения на Играх XXXI Олимпиады в Рио-де-Жанейро, проявленные волю к победе и целеустремлённость.