Борис Аршинцев родился 10 августа 1903 года в городе Грозный, Чеченская Республика. В августе 1920 года вступил в ряды Рабоче-Крестьянской Красной Армии. В то же время, вошел в состав Всесоюзной Коммунистической Партии большевиков.
В марте 1922 года, окончил 12 Владикавказские пехотные курсы и продолжил службу в должности командира взвода 1 Петроградского полка Частей Особого Назначения. Так же, занимал должность командира взвода 1 Петроградской отдельной роты ЧОН.
Обучение на повторных курсах, офицер завершил в 1923 году. В декабре того же года, Аршинцев назначен на должность командира взвода и пулеметной команды 522 Владикавказского полка Частей Особого Назначения. Принимал участие в боевых действиях против вооруженных формирований на Северном Кавказе.
В 1925 году, окончил повторное отделение при Владикавказской пехотной школе и в июле занял должность командира взвода 82 полка 28 стрелковой Горской Краснознаменной дивизии. С октября служил в Владикавказской пехотной школе на должности командира взвода, а затем - курсового командира. В 1929 году, участвовал в подавлении антисоветского восстания в Чечне.
С декабря 1929 года, Борис Аршинцев являлся курсовым командиром Объединенной военной школы имени ЦИК БССР в городе Минск. С июля 1930 года последовательно замещал должности командира роты, помощника командира батальона, начальника полковой школы и командира батальона 109 стрелкового полка 37 стрелковой дивизии Белорусского военного округа. В январе 1934 года назначен помощником начальника 1 части штаба данного формирования.
Академию РККА имени Фрунзе офицер окончил в 1938 году. В сентябре того же года назначен на должность начальника 1 оперативного отделения штаба. Через год, в июле 1939 года, перешел на должность начальника штаба 39 стрелкового корпуса 1 Отдельной Краснознаменной армии. Участвовал в ходе боев у озера Хасан и на реке Халхин-Гол.
С ноября 1940 года Борис Никитович преподавал на кафедре общей тактики, а с мая 1941 года - на кафедре службы штабов Военной академии РККА имени Фрунзе.
В начале войны, в июле 1941 года, назначен на должность начальника штаба 211 стрелковой дивизии МВО. В сентябре дивизия вошла в состав 43 армии Резервного фронта и занимала оборону на реке Десна южнее города Ельня, где участвовала в ходе Смоленского сражения, Вяземской и Можайско-Малоярославецкой операций и в контрнаступлении под Москвой.
На должность начальника штаба оперативной группы 56 армии Южного фронта Аршинцев назначен 16 декабря 1941 года. Участвовал в Ростовской наступательной операции. С 24 марта 1942 года, являлся командиром 16 стрелковой бригады, державшей оборону в районе города Таганрог, а 14 июня 1942 года, военачальник занял должность командира 30 стрелковой дивизии. В ходе битвы за Кавказ, дивизия под командованием Аршинцева принимала участие в Армавиро-Майкопской и Туапсинской оборонительных операциях, в ходе которых вверенное подразделение, находясь в полу окружении, обороняла город Краснодар и оставила данный населенный пункт по приказу только 12 августа 1942 года.
В ноябре 1942 года, за образцовое выполнение заданий командования, доблесть и героизм личного состава дивизия была удостоена звания «Гвардейская» и преобразована в 55 гвардейскую стрелковую дивизию. Позднее, дивизия под руководством Аршинцева участвовала в освобождении Северного Кавказа, в ходе которого освободила город Краснодар, и вела активное наступление на Горячий Ключ и станицы Калужская и Новодмитриевская. В сентябре и октябре 1943 года соединение участвовало в ходе Новороссийско-Таманской наступательной операции.
Особо отличился гвардии генерал-майор Аршинцев в ходе Керченско-Эльтигенской десантной операции. Под умелым руководством прославленного генерала, 3 ноября 1943 года дивизия форсировала Керченский пролив в условиях штормовой погоды на кораблях и катерах Азовской военной флотилии и захватила плацдарм в районе населенного пункта Опасная. В первую же ночь удалось расширить захваченный плацдарм на глубину до 2 километров.
В последующие дни дивизия освободила населенные пункты Капканы, Опасная и Еникале, и продвинулась вглубь обороны противника на 12 километров. На данных рубежах подразделение Аршинцева заняло крепкую оборону и отразило все многочисленные попытки противника ликвидировать захваченный Керченский плацдарм. В этих боях потерпели крупное поражение 98 немецкая пехотная и 3 румынская горно-пехотная дивизии. Противник потерял только убитыми до 1800 солдат и офицеров, уничтожены 7 танков, 8 орудий и 6 минометов. Так же, были захвачены 7 орудий, 4 миномета, 2 береговых прожектора, большое количество военного имущества. За проведение вышеуказанной операции, 25 ноября 1943 года генерал Аршинцев представлен к званию Героя Советского Союза.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 мая 1944 года, за умелое руководство войсками и проявленную при этом храбрость при форсировании Керченского пролива, гвардии генерал-майору Борису Никитовичу Аршинцеву присвоено звание Героя Советского Союза.
На должность командира 11 гвардейского стрелкового корпуса Отдельной Приморской армии Борис Аршинцев назначен 14 декабря 1943 года.
В январе 1944 года, корпус дважды пытался расширить керченский плацдарм и освободить город Керчь. Вторая операция проводилась в период с 9 по 21 января 1944 года. Корпус атаковал одновременно с высадкой десанта на мыс Тархан. Ценой больших потерь противника удалось потеснить на несколько километров.
При проведении операции, 15 января 1944 года, в результате прямого попадания вражеского снаряда в блиндаж наблюдательного пункта на высоте 115,5 у села Бондаренково севернее Керчи генерал-майор Борис Никитович Аршинцев погиб.
Похоронили Героя на братском кладбище советских воинов в селе Маяк на Керченском полуострове. После войны останки отважного генерала были перезахоронены на Воинском мемориальном кладбище в городе Керчь по улице Мирошника.
Медаль «Золотая Звезда» (16.05.1944, посмертно)
Орден Ленина (16.05.1944, посмертно)
Два ордена Красного Знамени (13.12.1942, 18.09.1943)
Орден Суворова II степени (8.02.1943)
Орден Отечественной войны I степени (3.08.1943)
Юбилейная медаль «XX лет Рабоче-Крестьянской Красной Армии» (1938)
На месте гибели у села Бондаренково Ленинского района Республики Крым установлен обелиск.
В Керчи в честь Б. Н. Аршинцева установлен памятник и названы микрорайон, рыбоконсервный завод, школа № 14 и клуб.
В Грозном его именем названы улица и школа № 15, в Краснодаре - улица, а также судно-рудовоз и танкер Министерства Морского Флота.
Герой Советского Союза Б. Н. Аршинцев зачислен в списки почетных рабочих Камышбурунского железорудного комбината.
8 мая 2010 года в Грозном открыт мемориальный комплекс «Аллея Славы», где установлены барельеф и памятная доска в честь Героя.
Одна из улиц города Краснодар носит имя Бориса Аршинцева