Захар Арзамасцев родился 6 ноября 1992, Новокузнецк, Кемеровкая область. Дебютировал в Континентальной хоккейной лиге 13 сентября 2009 года в домашнем матче «Металлурга» против «Витязя», завершившимся поражением новокузнечан 1:3. На следующий день Захар был отправлен в молодежную команду, и следующий вызов в «Металлург» получил в начале декабря. В своей четвертой игре в КХЛ 12 декабря 2009 года забросил первую в карьере шайбу в ворота ХК МВД.

    Всего в сезоне 2009/2010 Арзамасцев сыграл за «Металлург» 21 матч, набрал 2 очка за результативность. В апреле 2010 года участвовал в юниорском чемпионате мира в составе сборной России. В ноябре 2010 года - в Subway Super Series в составе молодежной сборной России. Был одним из претендентов на поездку на МЧМ 2011, однако в окончательный состав не попал.

    Согласно многим предварительным рейтингам, в том числе рейтинге центрального скаутингового бюро НХЛ, считался реальным претендентом на выбор в драфте НХЛ 2011 года, однако в результате задрафтован не был.

    В ноябре 2011 года участвовал в составе второй молодежной сборной России в «Турнире 4 наций», проходившем в Финляндии. Команда Евгения Корешкова заняла на нем третье место. 23 декабря 2011 года вошел в окончательный состав молодежной сборной России для участия в молодежном чемпионате мира 2012.