Александр Астапов родился 6 июня 1953 года в городе Киев, Украина. Окончил среднюю школу, после чего поступил в Черноморское высшее военно-морское училище имени П. С. Нахимова. В 1976 году, по окончанию училища, направлен на Тихоокеанский флот.
С октября 1976 года по август 1980 года проходил службу на атомных подводных лодках инженером ракетной боевой части подводной лодки К-48. С 1980 года в течение трех лет являлся помощником командира подводной лодки К-108. В составе экипажей подводных лодок неоднократно участвовал в длительных походах на боевую службу.
В 1987 году получил дополнительное образование, окончив Высшие специальные офицерские классы Военно-морского флота СССР.
В ноябре 1987 года вступил в должность старшего помощника командира атомной подводной лодки К-108. В апреле 1990 года Александр Сергеевич назначен командиром строящегося в Северодвинске атомного подводного крейсера К-266 «Орёл» третьего поколения, который под его командованием вошёл в состав Северного флота в феврале 1993 года.
С 1993 года являлся командиром атомной подводной лодки К-186 «Омск» проекта 949А «Антей». Астапов сформировал экипаж, организовал его качественное обучение, что позволило успешно провести заводские и государственные испытания атомохода, торпедные и ракетные стрельбы.
В декабре 1993 года подводная лодка переведена из Северодвинска в одну из баз Северного флота, где экипаж под руководством Алекандра Сергеевича Астапова начал подготовку к переходу на Тихоокеанский флот. В августе-сентябре 1994 года атомная подводная лодка «Омск» под его командованием в сложных гидрометеорологических и ледовых условиях совершила переход и вошла в состав одного из Камчатских соединений подводных лодок. Высокий уровень профессиональной подготовки Астапова, всестороннее знание корабля, способность быстро и грамотно оценить обстановку, его волевые качества обеспечили успех перехода.
Указом Президента Российской Федерации от 23 июля 1996 года «за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания в условиях, сопряжённых с риском для жизни», капитану 1-го ранга Астапову Александру Сергеевичу присвоено звание Героя РФ.
В августе 1996 года Александр Сергеевич Астапов вступил в должность начальника группы отдела подготовки подводных лодок Управления боевой подготовки ВМФ России. Всего за годы службы выполнил 7 боевых служб во всех мировых океанах.
С марта 2002 года пребывает в запасе. Имеет общую льготную выслугу в 51 год.
Является первым вице-президентом Регионального общественного фонда поддержки Героев Советского Союза и Российской Федерации.
Александр Астапов награжден орденом Мужества и множеством медалей.