Александр Бабчин родился 14 октября 1986 года в городе межгорье, Башкортостан. Окончил Башкирский государственный университет. Начинал заниматься биатлоном в Межгорье, затем в Уфе у тренера Ильгиза Самигуллина, позднее - у Андрея Падина.

В конце 2000 годов некоторое время выступал за Московскую область, в этот период тренировался под руководством Ю.Ф.Кашкарова. Входил в состав юниорской сборной России, но на крупных международных соревнованиях по юниорам участия не принимал.

В начале 2010 годов перешел в сборную Белоруссии. Первое время находился под «карантином» и выступал только на внутренних соревнованиях. Дебютировал на международных стартах в сезоне 2011/12, сначала на Кубке IBU, где занял 22 место в спринте в Эстерсунде и набрал квалификационные очки, а спустя неделю - на этапе Кубка мира в том же Эстерсунде. В дебютной индивидуальной гонке занял 73 место, а в спринте был 37 и набрал первые очки в зачет Кубка мира. Лучший результат в карьере на Кубке мира показал в спринте на этапе в Контиолахти в сезоне 2011/12, заняв 24 место.

Принимал участие в двух чемпионатах мира - в 2012 году в Рупольдинге и в 2013 году в Нове-Место. Лучший результат в личных видах на чемпионатах мира - 44 места в индивидуальной гонке в 2012 году и в спринте в 2013 году. В эстафете в составе белорусской команды был в эти годы 11 и 14.

По окончании сезона 2012/13 потерял место в составе сборной Белоруссии и вернулся в Россию, представляет Республику Башкортостан.

На внутрироссийском уровне неоднократно становился призером, в том числе в 2015 году выиграл золотые медали чемпионата России в командной гонке, в 2010 и 2014-2016 годах неоднократно был призером в эстафете, гонке патрулей, масс-старте. В сезоне 2014/15 стал победителем общего зачета Кубка России.