Антон Бабчук родился 6 мая 1984 года в городе Киев, Украина. Начинал играть в Электростали за «Кристалл». В сезоне 2002/03 дебютировал в чемпионате России, играл в том сезоне за «Ак Барс» и СКА. Затем уехал за океан, где играл в АХЛ, в клубе «Норфолк Адмиралс» в 2003-2006 годах, в те же годы играл и за «Чикаго Блэкхокс», но там в составе не закрепился.
В 2006 году 20 января обменян из «Чикаго Блэкхокс» вместе с правом выбора в четвертом раунде драфта в «Каролину Харрикейнз» на Дэнни Ричмонда. В первом сезоне за «Каролину» выиграл Кубок Стэнли.
Сезон 2007/2008 Бабчук провел в омском «Авангарде», играя под № 33. В сезоне 2008/2009 Бабчук вновь оказался игроком «Каролины». А осенью 2009 года Бабчук подписал контракт с омским «Авангардом».
В 2010 году 17 ноября был обменян в «Калгари Флэймз». В июле 2011 года подписал новый контракт с клубом. Соглашение рассчитано на два сезона. Зарплата - 2,5 миллиона долларов за год.
Антон считается универсалом: в атаке обладает сильным броском и надежен непосредственно в обороне. Участник матча звезд КХЛ.
На время локаута в НХЛ в 2012 году перешел в донецкий «Донбасс» - новичок КХЛ. Так как официально права на Антона Бабчука принадлежат омскому «Авангарду», «Донбасс» выплатил компенсацию.
В 2013 году 10 июня подписал контракт с уфимским «Салаватом Юлаевым». 24 июля 2014 года Антон перешел в нижегородское «Торпедо». Также Антон может выступать как за сборную России, так и за сборную Украины. 20 октября 2014 года нижегородское "Торпедо" расторгло контракт с защитником по обоюдному согласию сторон
В составе сборной России стал чемпионом мира среди юниоров до 18 лет 2001 года, а в 2002 году на таком же турнире выиграл серебряную медаль.