Алексей Бабешков родился 31 мая 1984 года в городе Саратов. Музыкой начал заниматься в раннем возрасте. После школы проходил службу в Вооруженных силах РФ. Первое высшее образование получил в 2008 году на физическом факультете Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского по программе «Управление качеством».
Мечтая стать оперным певцом, продолжил образование в Саратовской государственной консерватории имени Л.В. Собинова, класс доцента Зинаиды Семеновны Даниловой. Диплом об окончании получил в 2013 году.
С 31 июля 2013 года Бабешков является солистом-вокалистом Краснодарского Музыкального театра Творческого объединения «Премьера» имени Л.Г. Гатова. Исполняет партию тенора. В его репертуаре партии Гастона в опере «Травиата» Дж. Верди, Гангстера в постановке «Джаз для настоящих леди», Манилова в опере «Гоголь. Чичиков. Души» А. Пантыкина и другие.
Алексей работал в школе искусств в 2015 году. Позднее преподавал академический и эстрадный вокал в школе рока.
Бабешков является Лауреатом III степени Второго Международного детского и юношеского конкурса-фестиваля «На крыльях таланта» города Саратов в номинации сольный академический вокал. Лауреат II степени Всероссийского конкурса-фестиваля «Балтийское море».
Гастон - «Травиата» Дж. Верди
Виконта Каскада - «Веселая вдова» Ф. Легара
Манилов - «Гоголь. Чичиков. Души» А. Пантыкин
Принц - «Дюймовочка» Е. Подгайц
Семка - «Бабий бунт» Е. Птичкин
Чарлей Вайкэм - «Здравствуйте я ваша тетя» О. Фельцман
Гангстер - «Джаз для настоящих леди»
Джимми Джексон - «Моя жена - лгунья» В. Ильин, В. Лукашов