Марат Баглай родился 13 марта 1931 года в городе Баку, Азербайджан. Окончил юридический факультет Ростовского государственного университета в 1954 году. В 1957 окончил аспирантуру Института государства и права Академии наук СССР.
С 1957 года по 1962 работал научным сотрудником Института государства и права Академии наук СССР. В 1962-1967 годах - доцент Московского государственного института международных отношений МИД СССР. В 1968 защитил докторскую диссертацию. В 1970 получил звание профессора конституционного права. С 1967 года по 1977 работал заведующим отделом Института международного рабочего движения АН СССР. С 1977 года по 1995 был проректором Высшей школы профсоюзного движения. С 1977 года по 1995 также занимал должность профессора кафедры конституционного права МГИМО.
В 1997 году 30 мая М.В.Баглай избран членом-корреспондентом РАН по Отделению философии, социологии, психологии и права.
В 1995 году 7 февраля Марат Баглай был избран судьей Конституционного Суда РФ. 13 февраля того же года выдвигался на пост Председателя Конституционного Суда.
В 1997 году 20 февраля избран Председателем Конституционного Суда РФ на трехлетний срок. 21 февраля 2000 года переизбран председателем Конституционного суда России. Однако, через год его полномочия как судьи КС должны были истечь по возрасту. За кандидатуру Баглая проголосовало 18 из 19 членов КС.
В 2003 году 21 февраля был избран новый глава КС России - Валерий Зорькин. Полномочия Баглая на этом посту, а также на посту судьи КС были прекращены.