Федор Багрецов родился в 1812 году в селе Загарье Богородского уезда Московской губернии в семье дьячка. В детстве пел в хоре московского Чудова монастыря. С 18 лет работал в хоре учителем малолетних певчих.
С 1838 года и до конца жизни был регентом Чудовского хора, славившегося художественным исполнением церковных песнопений. По благословению митрополита Московского Филарета организовывал концерты духовной музыки.
Среди его сочинений переложение Херувимской песни, «Господи спаси благочестивыя» B-mineur; Верую - G-dur, «Тебе поем» - G-mol, «Утоли моя печали» - A-mol и многие другие. Он оставил много учеников, в их числе П. A. Скворцов, П. И. Сахаров и другие.
Скончался 26 мая (7 июня) 1874 год на своей даче в подмосковном Владыкине. Похоронен на кладбище Алексеевского монастыря.
Амвросий (Ключарёв): «Этот хор вся Москва знает, и все уважают Ф. А. Багрецова как регента с большим знанием дела и с чистым вкусом, при котором он так умеет совместить искусство со строгими духовными требованиями нашего православного богослужения и с глубоким содержанием наших церковных песнопений».