Алексей Бартошевич родился 4 декабря 1939 года в городе Москва. В 1961 году окончил театроведческий факультет ГИТИСа. В 1964 году окончил аспирантуру и защитил кандидатскую диссертацию. Ученик театроведа Г.Н.Бояджиева, литературоведа и шекспироведа А.А.Аникста.
Первоначально занимался исследованием творчества Шекспира: Автореферат диссертации кандидата искусствоведения. Но затем основой научной деятельности Бартошевича стало исследование постановок пьес Шекспира в английском театре. Публиковал статьи на эту тему в сборниках серии «Шекспировские чтения» и в журнале «Театр», затем выпустил книги «Шекспир на английской сцене, конец XIX - первая половина XX века: Жизнь традиций и борьба идей» и «Шекспир. Англия. XX век». Продолжал исследовать и творчество Шекспира, особое внимание уделяя поэтике - «Поэтика раннего Шекспира». В 2003 году вышла книга «„Мирозданью современный“. Шекспир в театре XX века».
Сделал телепередачи как о постановках Шекспира, современных западных режиссерах, так и о самом Шекспире.
Заведующий кафедрой истории зарубежного театра РАТИ, заведующий отделом современного западного искусства Государственного института искусствознания. Преподает в РАТИ курс истории зарубежного театра, в котором большое место занимает Шекспир и связанные с его творчеством аспекты истории театра. Доктор искусствоведения, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации. Лауреат премии К.С.Станиславского. Лауреат театральной премии «Чайка» в номинации «Патриарх». Один из первых лауреатов Российской национальной актерской премии имени Андрея Миронова «Фигаро». В 1987-1991 годах был секретарем Союза театральных деятелей СССР.
Председатель Шекспировской комиссии Научного совета по истории мировой культуры РАН, а также член исполкома Международной шекспировской ассоциации.
Алексей Бартошевич «убедительно показал, что литературоведческого исследования Шекспира недостаточно, для более точных выводов необходимо привлечь арсенал театроведческого исследования».
В № 3-4 журнала «Proscaenium. Вопросы театра» от 2012 года А.В.Бартошевич опубликовал статью «О тех, кто приходит нам на смену», где выразил и свое разочарование в работах многих молодых режиссеров, и надежду на то, что, «может быть, и они когда-нибудь доживут до новой великой эпохи русского театра». В 2013 году издательство «Артист. Режиссер. Художник» выпустило новую книгу Бартошевича «Театральные хроники. Начало XXI века». В ней рассказывается о спектаклях Питера Брука, Льва Додина, Эймунтаса Някрошюса, Петера Штайна, Сергея Женовача, Томаса Остермайера, Юрия Бутусова, Люка Персеваля, Андрия Жолдака, других российских и западных режиссеров.