Андрей Барышев родился 2 февраля 1966 года в городе Челябинск. Мальчик родился в семье потомственных металлургов. Среднее образование получил в родном городе в школе № 61. С юных лет занимался тяжелой атлетикой. Не раз становился призером российских соревнований. Результатом отличных выступлений и упорных тренировок, стало получение звания мастера спорта по тяжелой атлетике. Прошел срочную службу в армии в войсках специального назначения.
Демобилизовавшись, в 1986 году Андрей устроился водителем на автобазу № 1 Металлургического района, где работал в студенческие годы. В 1991 году окончил Челябинский государственный институт физической культуры, после чего по распределению направлен тренером во Дворец культуры строителей.
В 1998 году Барышев основал в Металлургическом районе Общественный фонд «Соцгород», который затем расширил масштабы своей деятельности и перерос в Областное общественное движение «Соцгород». Андрей Викторович являлся Председателем Совета Общественного движения. Под его руководством работа фонда получила признание Международной благотворительной организации «Благовест». В 2007 году фонд стал победителем открытого конкурса Президента России в сфере поддержки социально незащищенных граждан.
Андрей Викторович в 1999 году возглавил телецентр «Метар», учрежденный администрацией Металлургического района Челябинска. Через пять лет «Метар» оказался объединен с телекомпанией «Инфо-ТВ» известного челябинского бизнесмена Александра Аристова в компанию «СТС-Челябинск».
С 2000 года на протяжении девяти лет жители Металлургического района трижды оказывали Андрею Барышеву доверие, избирая его депутатом Челябинской городской Думы. В этот период являлся заместителем председателя постоянной комиссии по законности и городскому самоуправлению. В 2004 году окончил филиал Уральской академии государственной службы Челябинского института. Через год возглавил постоянную комиссию по градостроительству и землепользованию.
В 2010 году Андрей Барышев выкупил у Александра Аристова его долю телеканала «СТС-Челябинск» и стал единственным его владельцем, став генеральным директором ООО «Предприятие «Инфо-ТВ».
В октябре того же года избран Депутатом Законодательного Собрания Челябинской области, став заместителем председателя комитета по строительной политике, входил в комитет по экономической политике и предпринимательству.
В Совет депутатов Металлургического района Челябинска от регионального отделения партии «Единая Россия» избран в сентябре 2014 года. Вошел в состав Челябинской городской думы первого созыва. Согласно поправкам в регламент, дума с 2004 года формировалась по новому принципу: из числа районных депутатов. Барышев вновь возглавил постоянную комиссию по градостроительству и землепользованию.
На выборах 18 сентября 2016 года Андрей Викторович избран Депутатом Государственной Думы VII созыва от Челябинского избирательного округа 0189. Является членом всероссийской политической партии «Единая Россия». Состоит в комитете Государственной Думы по регламенту и организации работы Государственной Думы. Дата начала полномочий - 18 сентября 2016 года.
Андрей Викторович также является учредителем общественной организации «Комитет народного контроля» Челябинска, председателем городского отделения Челябинской региональной общественной организации «Комитет по борьбе с коррупцией». Член попечительского совета Федерации каратэ, вице-президент мотоциклетной федерации Челябинской области, председатель совета челябинской федерации хоккея и хоккея на валенках.
Барышев владеет рядом деловых активов в Челябинске, среди которых: телеканал СТС-Челябинск, автовокзал «Северные ворота», ресторан «Венеция», ООО «Ремжилзаказчик» Металлургического района, торговые площади на повороте ЧМЗ, банно-оздоровительный комплекс «Металлург», строительная компания «Домостроитель МК».
Женат, имеет двух дочерей.
Удостоен награды «Ювента» за личный вклад в реализацию молодежной политики
Международный фонд «Меценаты столетия» наградил Александра медалью «Национальное достояние» за благородство помыслов и дел
Обладатель «Золотого орла» за активную деятельность по борьбе с наркоманией
Почетная грамота Губернатора Челябинской области
Благодарность Законодательного Собрания Челябинской области «За значительный вклад в развитие законотворческой деятельности»