Анастасия Бавыкина родилась 6 июля 1992 года в городе Москва. Анастасия Бавыкина начинала заниматься волейболом с 11 лет в московской СДЮСШОР № 73 «Виктория» у тренера Марии Николаевны Калинчевой. Выступала за сборные команды резерва всех возрастов. В 2009 году была капитаном юниорской сборной, занявшей 9 место на чемпионате Европы в Роттердаме и ставшей серебряным призером X Европейского юношеского олимпийского фестиваля в Тампере. В составе молодежной сборной в 2010-2011 годах играла в финальных турнирах чемпионата Европы в Сербии и чемпионата мира в Перу.
В ноябре 2010 года Анастасия Бавыкина провела первые матчи за «Заречье-Одинцово» в Суперлиге чемпионата России и Лиге чемпионов, во второй половине сезона-2010/11 возвращалась в московский «Луч» - базовую команду молодежной сборной России, в которой она начинала свою карьеру. С каждым годом молодая доигровщица получала в «Заречье» все больше игровой практики и в сезоне-2013/14 вышла на ведущие роли: все 23 матча чемпионата России она начинала в стартовом составе и, набрав в них 332 очка, стала второй по результативности в подмосковной команде после диагональной Натальи Малых и девятой среди всех игроков российского первенства. В том же сезоне в составе «Заречья» Анастасия завоевала Кубок вызова.
Весной 2014 года была приглашена Юрием Маричевым в сборную России. В ее составе в начале международного сезона выиграла бронзу на «Монтре Волей Мастерс» и серебро на Кубке Бориса Ельцина. Первый официальный матч за сборную провела 3 августа в Анкаре в рамках Гран-при против команды Турции. Всего на этом турнире, завершившемся для россиянок завоеванием бронзовых медалей, Бавыкина сыграла в 9 матчах и набрала 14 очков.
В июне 2015 года перешла из «Заречья-Одинцово» в московское «Динамо», подписав со столичным клубом контракт на два сезона. В составе второй сборной России Анастасия в том же году выступала на «Монтре Волей Мастерс» и Европейских играх в Баку, а со студенческой командой завоевала золотую медаль на Универсиаде в Кванджу.
В октябре 2015 года Анастасия Бавыкина в составе «Динамо» выиграла крупный предсезонный турнир - Кубок Победы и была признана самым ценным игроком финального этапа. В апреле 2016 года завоевала первый в своей карьере титул чемпионки России.