Франц Игнац Бек родился 20 февраля 1734 года в городе Мангейм, Священная Римская империя. Начал учиться игре на скрипке у своего отца Иоганна Алоиса Бека, гобоиста и ректора хоровой школы при Пфальцском дворе в Мангейме. Также выучил контрабас и орган. Позже стал учеником Я. Стамица. Таланты Бека были быстро признаны, и курфюрст Пфальца Карл Теодор взял на себя его образование.
Представитель Мангеймской школы музыки. Играл как музыкант в оркестре курфюрста Мангейма. Около 1752 года в результате дуэли, закончившейся смертью соперника, ему пришлось бежать с родины. Первоначально отправился в Венецию, где учился у Б. Галуппи и выступал как скрипач, позже переехал в Неаполь.
С 1757 года жил во Франции. В 1760 г. поселился в Марселе, где был первым скрипачом в оркестре местного театра. В 1761 году он поселился в Бордо, где до начала Французской революции был ведущей фигурой местной художественной жизни, выступая в качестве дирижёра, органиста и музыкального педагога (в числе его учеников - П. Гаво).
В 1764 году стал руководителем Большого театра Бордо, а в 1774 году - органистом Базилики Сен-Сёрен. Его музыка была очень популярна и регулярно звучала в Париже.
Среди его музыкальных сочинений: оперы - «Прекрасная садовница» (постановка 1767), «Необитаемый остров» (1789); мелодрама «Пандора» (1789); 4 сборника симфоний (1758-1766), 2 дивертисмента, фортепьянные сонаты, хоры.
Умер 31 декабря 1809 года в Бордо.