Максим Белугин родился 5 марта 1985 года в городе Краснокаменск, Забайкальский край. Спортом увлекался с детства, активно занимался легкой атлетикой, в частности, выступал в толкании ядра и даже получил в этой дисциплине звание мастера спорта. В 2007 году решил попробовать себя в бобслее, прошел отбор в национальную сборную и присоединился к ней в качестве разгоняющего. Тогда же в составе четырехместного экипажа Александра Касьянова дебютировал в Кубке Европы, показав на трассе немецкого Кенигсзее пятнадцатый результат.
В следующем сезоне впервые поучаствовал в заездах Кубка мира, на этапе в Винтерберге в двойке с пилотом Алексеем Горлачевым закрыл двадцатку сильнейших. В январе 2009 года с двойкой финишировал шестым на юниорском чемпионате мира, успешно выступал на этапах европейского кубка - один раз остановился в шаге от призовых позиций, добравшись до финиша с четвертым временем.
В 2010 году стал чемпионом России среди двухместных экипажей, выиграл три бронзовые медали на этапах Кубка Европы и занял пятое место на молодежном мировом первенстве в швейцарском Санкт-Морице.
В следующем сезоне вместе с Касьяновым они принимали участие почти во всех этапах Кубка мира, причем обычно оказывались в лучшей десятке, а на трассе американского Парк-Сити в программе четверок были четвертыми, немного не дотянув до бронзовой позиции.
На взрослом чемпионате мира 2011 года в Кенигсзее Белугин был семнадцатым в двойках, десятым в четверках и шестым в смешанных состязаниях по бобслею и скелетону.
Год спустя спортсмен защитил звание чемпиона России, обогнав даже признанных лидеров сборной Александра Зубкова и Дмитрия Труненкова, в целом выступал на прежнем высоком уровне, на этапе в канадском Уистлере завоевал первую для себя медаль с Кубка мира - серебряную.
В феврале 2012 года на трассе американского Лейк-Плэсида участвовал в заездах первенства мира, финишировал шестнадцатым с двойкой и одиннадцатым с четверкой.