Александр Беляев родился 5 января 1949 года в городе Москва. Выпускник московской школы № 58. В студенчестве играл в любительском театре МГУ. В 1972 году окончил географический факультет МГУ по специальности «Гидрология суши».
По окончании вуза работал по распределению в проектно-изыскательском институте «Союзводоканалпроект», затем в начале 1970 гг. перешел в Институт географии Российской академии наук, где основал группу «Меркатор», занимающуюся созданием метеорологической инфографики для холдинга «Метео-ТВ».
В 1979 году защитил кандидатскую диссертацию по теме «Зональные комплексные зависимости и их использование при водно-балансовом картографировании». В 1987 году был назначен заместителем директора Института географии РАН по научным вопросам и принял на себя руководство лабораторией экспериментальных исследований геосистем.
С 23 марта 1998 года - по случайному стечению обстоятельств стал ведущим прогноза погоды на НТВ. С 12 мая по 10 июля 2015 года вел утреннюю программу НТВ «Солнечно. Без осадков». Также ведет программу «Азбука Синоптика» на телеканале «Первый метео».
Является членом Академии Российского телевидения и почетным членом Ассоциации еврейских организаций и общин Украины. Увлекается филателией, коллекционируя марки, связанные с Россией, и в частности, с постсоветским периодом ее истории.
Имеет воинскую специальность «Синоптикетеоролог». Проживает в деревне Мешково Новомосковского административного округа Москвы.