Анна Бер родилась 23 октября 1989 года в городе Томск. Начала заниматься подводным плаванием в ДЮСШ имени В.А.Шевелева в 2000 году. В 2006 году завоевала одну золотую и две серебряные медали на чемпионате мира среди юниоров в Москве и по итогам года была включена в основной состав взрослой национальной сборной команды по подводному спорту.
Начиная с 2006 года неоднократно становилась победителем и призером этапов Кубка мира как в командном, так и в личном зачете.
В 2010 году стала трехкратной победительницей Кубка мира: на дистанции 50 метров в ластах, 50 метров ныряние и 100 метров в ластах. Также завоевала шесть золотых медалей на чемпионате России. Кроме того, по итогам чемпионата Европы была двукратной победительницей и трехкратным серебряным призером.
В 2011 году на счету Анны серебро и бронза чемпионата мира в Венгрии, в 2012 она стала чемпионкой Европы в эстафетном плавании 4х100 метров в Италии.
В 2014 году 1 июля министр спорта РФ Виталий Мутко подписал приказ «О присвоении почетного спортивного звания «Заслуженный мастер спорта России» преподавателю факультета физической культуры НИ ТГУ, спортсменке клуба СКАТ и ОГАУ «ТО ШВСМ» Анне Бер, являющейся также чемпионкой Европы, призером чемпионата мира, рекордсменкой Европы, многократной чемпионкой России.
Окончила факультет физической культуры ТГУ. Является аспиранткой этого же университета. Тренер-преподаватель клуба «СКАТ».
На Европейских играх победила в рамках показательных выступлений и установила новый рекорд Европы в плавании в ластах на дистанции 50 метров.