Азамат Бикбаев родился 9 июня 1986 года в городе Белорецк, Республика Башкортостан. Борьбой начал заниматься в десятилетнем возрасте. В греко-римскую борьбу пришел по стопам своих старших братьев. Первым тренером стал Валерий Коробов. Позднее получал высшее образование в Стерлитамакском институте физической культуры.
В сборной команде России по греко-римской борьбе состоит с 2011 года. В следующем году в составе сборной борец стал обладателем Кубка Европейских наций, бронзовым призером Международного турнира Гран-При имени Ивана Поддубного.
В 2012 году Азамат вошел в расширенный список спортсменов-кандидатов на участие в Играх ХХХ Олимпиады в городе Лондон, Великобритания. Тогда же завоевал бронзовую медаль финала Голден Гран-При.
На Чемпионате Мира 2014 года в городе Ташкент Республики Узбекистан борец проиграл в первом круге кубинскому борцу Пабло Шорею со счетом 3-6. В том же году одержал победу на Чемпионате России, завоевав титул Чемпиона. Позднее дважды становился бронзовым призером.
На Международном турнире Гран-При памяти Ивана Поддубного, проходившем в городе Краснодар в январе 2018 года, Азамат выиграл бронзовую медаль в весовой категории 87 килограммов. Выступал от Республики Башкортостан.
Бикбаев является мастером спорта международного класса. Рост спортсмена 179 сантиметров, вес 85 килограммов. Тренируется под руководством Валерия Коробова и Рамиля Сираева.