Михаил Бирюков родился 7 мая 1958 года в городе Орехово-Зуево, Московская область. Воспитанник орехово-зуевской команды «Знамя труда». 

В чемпионатах СССР провёл 252 матча за «Зенит». За сборную СССР сыграл 2 матча. Играл за эстонские «Тевалтэ» и «Лантана-Марлекор».

Игровую карьеру закончил в 42 года, приняв приглашение от волгоградского «Ротора» стать тренером вратарей, но уже через полгода был приглашён в Петербург Ю. А. Морозовым, только что возглавившим «Зенит». В течение двух лет Бирюков являлся главным помощником Морозова, с 5 июля по 26 августа 2002 года исполнял обязанности главного тренера команды. В феврале 2003 года возглавил вместе с Морозовым команду «Петротрест». С 2006 года - тренер вратарей в «Зените».

     Единственный из зенитовцев, причастный ко всем пяти чемпионствам команды - как игрок в 1984 году и как тренер вратарей в 2007, 2010, 2012, 2015 годах.