Евгений Бобров родился 4 августа 1978 года в городе Жуковский, Московская область. После школы, молодой человек учился в Жуковском авиационном техникуме по специальности «правоведение», который успешно окончил в 1998 году.
В 1999 году Евгений Александрович основал межрегиональную общественную организацию «Правозащитная организация «Восход». Оказывал правовую и экспертную помощь Московской Хельсинкской группе, сети «Миграция и право» правозащитного центра Мемориал, Форуму переселенческих организаций и другим организациям.
Бобров получил дополнительное образование окончив в 2005 году Московскую государственную юридическую академию по специальности «юрист». Затем преподавал гражданский процесс, жилищное право, право социального обеспечения, адвокатуру, нотариат в Российском государственном университете нефти и газа имени Губкина.
С ноября 2012 года Евгений Александрович является членом Совета при Президенте Российской Федерации по развитию гражданского общества и правам человека, руководителем Постоянной комиссии по миграционной политике и защите прав человека в сфере межнациональных отношений, руководителем рабочей группы СПЧ - Минстроя России по реализации права граждан на доступное жилье.
В 2013 году избран депутатом Совета одного из муниципальных образований Наро-Фоминского района Московской области. С декабря 2014 года Евгений Александрович Бобков является членом рабочей группы при Правительстве Российской Федерации по оказанию помощи украинским беженцам под руководством вице-премьера Дмитрия Козака.
Евгений Бобров имеет ученую степень кандидата юридических наук. Является автором статей и монографий по защите социальных прав, права на гражданство, по гражданскому процессу и регистрационному учёту. Лауреат премии Московской Хельсинкской группы «За мужество, проявленное в защите прав человека».
С марта 2015 года Бобров входит в Совет при губернаторе Московской области по развитию гражданского общества и правам человека. В этом же году назначен на должность заместителя председателя Совета при Президенте Российской Федерации по развитию гражданского общества и правам человека. Находился в Совете при Президенте до 21 октября 2019 года.
Женат, воспитывает троих дочерей.
Лауреат премии Московской Хельсинкской группы «За мужество, проявленное в защите прав человека»
Бобров Е. А. Реализация социальных прав в г. Москве при отсутствии регистрации: законодательство и судебная практика 2001-2002 годов. Монография. Москва 2002 г. 378 с.
Бобров Е. А. Проблемы правового положения иностранных граждан и лиц без гражданства из числа бывших граждан СССР, желающих остаться на постоянное проживание в Российской Федерации // Приобретение гражданства Российской Федерации и легализации иностранных граждан в России, 18 сборник. - М.: Р.Валент, 2005. С. 80 - 86
Бобров Е. А. Административные ограничения в реализации социальных прав // Право человека на жизнь и гарантии его реализации в сфере труда и социального обеспечения. Материалы международной научно-практической конференции / под ред. К. Н. Гусова - М.: Проспект, 2008. С. 446-450.
Бобров Е. А. Подтверждение места жительства для реализации социальных прав // Трудовое право. 2009. № 8. С. 67 - 71
Бобров Е. А. Публично-правовой порядок рассмотрения споров о праве граждан на трудовую пенсию // Социальное и пенсионное право. 2010. № 4. С. 7 - 10.
Бобров Е. А. О некоторых вопросах несудебной формы защиты права на трудовую пенсию // Законодательство. 2013. № 10. С. 63 - 67.
Бобров Е. А. О допустимости косвенных доказательств при установлении юридических фактов, необходимых для назначения трудовой пенсии // Конституционные основы трудового права и права социального обеспечения: состояние и перспективы: материалы XIV имени М. В. Ломоносова и V Международной научно-практической конференции «Кутафинские чтения» / под общ. ред. д.ю.н., проф. А. М. Куренного. - М., 2013. С. 467-473.