Всеволод Бобров родился 1 декабря 1922 года в городе Моршанск Тамбовской области. Через три года семья переехала в Сестрорецк, рядом с Санкт-Петербургом. С юных лет мальчик играл зимой в хоккей, а летом в футбол. В 1938 году его пригласили выступать за команду «Динамо». После окончания школы молодой человек работал на заводе, который в начале Великой Отечественной войны эвакуирован в Омск, где в 1942 году Бобров начал выступать за футбольную сборную города.
В 1945 году на стадионе «Сталинец» в Черкизове Бобров дебютировал в чемпионате СССР в составе футбольной команды, забив два мяча в ворота московского «Локомотива» и вскоре оказался включен в состав московской команды «Динамо», совершившей триумфальное турне по Великобритании. Двадцатитрехлетний Всеволод блестяще исполнил роль «блуждающего форварда» в матчах против таких сильных футбольных клубов, как «Челси», «Арсенал» и «Кардифф Сити», забив шесть голов из девятнадцати.
В период с 1947 по 1953 год Бобров совмещал свои выступления в футболе с хоккеем. На его счету немало решающих голов. В чемпионатах СССР по футболу забил 97 голов в 116 матчах. Всеволод Михайлович являлся единственным в истории спорта участником Олимпийских игр капитаном одновременно футбольной и хоккейной команд.
Однако многочисленные травмы заставили Боброва сделать окончательный выбор в пользу хоккея с шайбой, и в 1953 году полностью перешел на ледовое поле, где совершил еще больше побед. Его отличала яркая, нестандартная игра, виртуозная техника обводки, высочайшая скорость, неудержимый напор и точный удар. Тройка нападающих команды Военно-Воздушных Сил: Всеволод Бобров - Виктор Шувалов - Евгений Бабич являлась сильнейшей в те годы в отечественном хоккее с шайбой.
В 1954 году состоялся сенсационный дебют сборной СССР на чемпионате мира по хоккею, где заняла первое место, а Бобров признан лучшим нападающим мира. Уже через два года Олимпийская сборная команда СССР по хоккею, тренером которой стал Всеволод Михайлович, выиграла золотые медали. Причем в нескольких сезонах выступал играющим тренером.
В этот же период Всеволод Бобров назначен главным тренером московского клуба ВВС. Но наибольших успехов в тренерской работе достиг в 1960-70-х годах, в хоккейной команде «Спартак», ставшей чемпионом СССР в 1967 году, и сборной команде СССР по хоккею, которая под его руководством дважды становилась чемпионом мира и впервые сыграла серию матчей против канадских профессионалов. Восхищаясь тренерским искусством Боброва, канадцы наградили его специальной золотой медалью.
Многократный чемпион СССР по футболу и хоккею, чемпион мира, Европы, Олимпийских игр, Заслуженный мастер спорта и Заслуженный тренер СССР Всеволод Бобров являлся одним из самых гениальных спортсменов нашей страны. Он всегда выступал лидером команды, ее ведущим бомбардиром, кумиром отечественных болельщиков.
Выдающийся футболист, хоккеист и тренер Всеволод Михайлович Бобров скончался в возрасте пятидесяти семи лет 1 июля 1979 года в Москве. Похоронен на Кунцевском кладбище.
Орден Ленина
Орден «Знак Почета»
Медаль «За боевые заслуги»
Медаль «В ознаменование 100-летия со дня рождения Владимира Ильича Ленина»
Медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.»
Командные
Футбол
Как игрок:
Чемпионат СССР
Чемпион: 1946, 1947, 1948, 1953
Серебряный призер: 1945, 1949
Кубок СССР
Обладатель: 1945, 1948
Приз Всесоюзного комитета
Серебряный призер: 1952
Как тренер:
Кубок СССР
Финалист: 1967
Хоккей с шайбой
Как игрок:
Чемпионат СССР
Чемпион: 1948, 1949, 1950, 1951, 1952, 1955, 1956
Серебряный призер: 1947, 1954, 1957
Олимпийские игры
Чемпион Олимпийских игр 1956
Чемпионат мира:
Чемпион: 1954, 1956
Серебряный призер: 1955, 1957
Чемпионат Европы:
Чемпион: 1954, 1955, 1956
Серебряный призер: 1957
Как тренер:
Чемпионат СССР
Чемпион: 1967
Серебряный призер (2): 1965, 1966
Чемпионат мира и Европы:
Чемпион: 1973, 1974
Серебряный призер: 1972
Хоккей с мячом
Кубок СССР
Обладатель: 1945, 1946
Личные
Лучший бомбардир чемпионата СССР по футболу: 1945, 1947
В списках 33 лучших футболистов СССР три раза, из них № 1 в 1948 году, № 2 в 1952 году и № 3 в 1949 году.
Лучший бомбардир чемпионата СССР по хоккею с шайбой: 1948, 1950, 1951, 1952
Самый результативный игрок чемпионата мира по хоккею с шайбой: 1954
Лучший нападающий чемпионата мира по хоккею с шайбой: 1954
Первый хоккеист - кавалер Ордена Ленина (1957).
В декабре 2005 года в честь Всеволода Боброва астероиду, открытому 25 октября 1982 года Л. В. Журавлевой в Крымской астрофизической обсерватории, присвоено наименование 18321 Bobrov.
В октябре 2009 года Центральный банк России объявил о выпуске в обращение памятной серебряной монеты 2 рубля из серии «Выдающиеся спортсмены России» с портретом Всеволода Боброва. Кроме Боброва выпущены еще две монеты с портретами Александра Мальцева и Валерия Харламова.
Имя «Всеволод Бобров» носит судно тылового обеспечения ледового класса проекта 23120. Спущено на воду в ноябре 2016 года, входит в состав Северного флота ВМФ России.
Образ в кино
«Легенда № 17» - Александр Яковлев
«Хоккейные игры» - Леонид Тимцуник и Сергей Ларин (в молодости)
«Мой лучший друг - генерал Василий, сын Иосифа» роль Багрова (прототип - В. М. Бобров) - Борис Щербаков
«Сын отца народов» - Дмитрий Абазовик
«Смерть Сталина» (The Death of Stalin, 2017)
В литературе
Евгений Евтушенко, стихотворение «Прорыв Боброва» («Шаляпин русского футбола, Гагарин шайбы на Руси...»)
Первая жена - Санина Татьяна Леонидовна (2.12.1923-28.1.2011), солистка Театра оперетты, народная артистка РСФСР (1978). С ней Бобров познакомился в больнице, когда в очередной раз лечился от полученной травмы. Брак оказался недолгим и вскоре супруги расстались.
Вторая жена - Елена Николаевна Боброва (брак с 1963), киевлянка, которая во время их знакомства в 1962 году была замужем и уже имела трехлетнюю дочь, Светлану (позже вышла замуж за сына Вениамина Александрова). Ради Всеволода Боброва рассталась с мужем, оставила учебу в финансово-экономическом институте и работу. В этом браке 1 марта 1969 года у них родился сын Михаил. Михаил погиб в ДТП 27 июля 1997 года - на мотоцикле столкнулся с автомобилем. Имеется внук Всеволод. С 2000-х Елена проживает с бывшим хоккеистом Станиславом Петуховым.