Юрий Богданов родился 2 февраля 1972 года в городе Москва. Начал заниматься игрой на фортепиано в 4 года под руководством выдающегося педагога Анны Даниловны Артоболевской. Одновременно занимался композицией под руководством Т.Н. Родионовой. В 1990 году закончил Центральную среднюю специальную музыкальную школу при Московской консерватории. Затем получал образование в Московской государственной консерватории имени П.И. Чайковского и ассистентуре-стажировке при МГК имени П.И. Чайковского.
Пианист ведет активную концертную деятельность, выступал более чем в 60 городах России и ближнего зарубежья. С 1997 года является солистом Московской Государственной Академической Филармонии. Выступал в лучших концертных залах города Москва, включая Большой зал МГК имени П.И. Чайковского и Концертный за имени П.И. Чайковского. В качестве солиста играл с симфоническими оркестрами Гостелерадио России, Кинематографии, Московской филармонии, Государственным симфоническим оркестром под управлением В.Понькина, Симфоническим оркестром Мурсии, Кубанским симфоническим оркестром, Montevideo Philharmonic.
Богданов записал 9 компакт дисков. Диск из произведений Франца Шуберта признан Венским институтом имени Ф. Шуберта лучшей записью произведений Шуберта в мире в 1996 году. Ведет педагогическую деятельность в Российской академии музыки имени Гнесиных. В марте 2010 года Юрию Богданову присвоено ученое звание доцента. В апреле 2012 года стал профессором РАМ имени Гнесиных. Среди его учеников много лауреатов международных конкурсов и фестивалей.
В декабре 2005 года президиум Российской академии естественных наук избрал Юрия Богданова членом-корреспондентом Академии по секции «Гуманитарные науки и творчество». Позднее стал действительным членом РАЕН. Юрий Богданов является художественным руководителем проекта «Где рождается искусство» и основателем общественного движения «Экология культуры».
В 2013 году основал фортепианный фестиваль «Подмосковные вечера искусств» в городах Московской области, а в 2015 году I Всероссийский интернет-конкурс «Музыкальные таланты России». Через три года стал художественным руководителем международного фестиваля «Красногорск музыкальный».
Музыкант участвовал в работе жюри многих международных, всероссийских и региональных конкурсов пианистов: «Призвание», имени Т. Николаевой, имени А. Артоболевской, на присуждение стипендии имени А. Скрябина, имени Челищевой в городе Петропавловск-Камчатский, «Romantishen Stern», «Звездная юность планеты» в «Орленке» и в городе Сочи, «Йондоз-Иле», «Найдал - 2008» и «Найдал - 2011», «Шанс».
Юрий Богданов приглашается Министерством Культуры РФ для проведения мастер-классов в творческих школах для одаренных детей в различных регионах России и за рубежом, имеет благодарности от глав администраций и руководителей управления культуры Субъектов Федерации, а также благодарность Председателя Совета Федерации Федерального Собрания РФ и благодарность Министра культуры Российской Федерации. Юрий Богданов является одним из учредителей и вице-президентом музыкального фонда имени А.Д. Артоболевской и Международного благотворительного фонда Ю. Розума.
Музыкант выступил основателем, художественным руководителем и председателем жюри международного детского конкурса исполнительского мастерства «Где рождается искусство» в городе Краснодар и I Всероссийского интернет-конкурса «Музыкальные таланты России». В городе Сочи под его руководством стартовал Международный музыкально-экологический фестиваль искусств «Прометей», вошедший в программу года музыки Культурной олимпиады.
Удостоен наград и званий лауреата на международных конкурсах: имени И.С. Баха в городе Лейпциг; имени Ф. Шуберта в городе Дортмунд; имени Ф. Мендельсона в городе Гамбург; имени Ф. Шуберта в городе Вена; имени Эстер-Хоненс; имени С. Зайлера. Является победителем фестиваля «Апрельская весна» и обладателем специального приза на международном конкурсе пианистов в городе Сидней. Получил первую в России стипендию имени А.Н. Скрябина.
Музыкант награжден серебряным орденом «Служение искусству» Международного благотворительного фонда «Меценаты столетия» и медалью «Честь и польза» движения «Добрые люди мира». Ему присвоено почетное звание «Заслуженный артист России».