Иван Большаков родился 20 октября 1984 года в городе Москва. В 2002 году окончил среднюю общеобразовательную школу № 156, а также школу искусств № 11 имени Г.В. Свиридова. В возрасте восемнадцати лет вступил в российскую объединенную демократическую партию «Яблоко». С 2005 года являлся одним из лидеров «Молодежного Яблока». В этот же период работал помощником депутата Московской городской Думы Сергея Митрохина на общественных началах.
В 2007 году Большаков являлся кандидатом в депутаты Государственной Думы РФ. В том же году стал членом Молодежной Палаты при Московской городской Думе, принимал участие разработке ряда законодательных инициатив. Автор законопроекта о запрете строительства мусоросжигательных заводов в Москве и введении раздельного сбора отходов. С 2008 года занимал должность заместителя председателя регионального отделения партии в Москве.
В 2009 году Иван Большаков окончил отделение политологии Международного независимого эколого-политологического университета. Затем учился в аспирантуре на кафедре культуры мира и демократии факультета истории, политологии и права Российского государственного гуманитарного университета.
С 2010 по 2013 год Иван Викторович преподавал на кафедре политологии, экополитологии и глобалистики Международного независимого эколого-политологического университета, а также являлся преподавателем Российского государственного гуманитарного университета. В этот период стал членом федерального бюро «Яблока». С 2016 года руководит экспертно-аналитическим управлением партии.
Иван Большаков являлся политическим директором избирательной кампании Григория Явлинского на президентских выборах 2018 года. В 2019 году занимал аналогичную должность в избирательной кампании Евгения Бунимовича на выборах депутатов Московской городской Думы по 6 избирательному округу.
Также Большаков входит с состав членов Российской ассоциации политической науки. Является шеф-редактором общественного онлайн-издания Smart Power Journal.
На XXI съезде «Яблока» 15 декабря 2019 года по предложению Николая Рыбакова Иван Большаков избран заместителем председателя партии.
Женат.