Александр Бумагин родился 1 марта 1987 года в городе Белгород. Спортом начал заниматься с раннего детства. Является воспитанником Детско-Юношеской Спортивной Школы по хоккею родного города. Принимал непосредственное участие в различных турнирах, первенствах и чемпионатах, как всероссийских, так и международных.
Профессиональную спортивную карьеру, Бумагин начал в сезоне 2004 - 2005 года, в составе хоккейного клуба «Лада» города Тольятти. В дебютном сезоне, спортсмен провел 7 матчей, в которых забросил две шайбы. В следующем году, Александр в составе «Лады» выиграл Континентальный кубок.
На драфте Национальной Хоккейной Лиги в 2006 году, спортсмен выбран под общим 170-м номером командой «Эдмонтон Ойлерз». Летом 2007 года, Бумагин подписал контракт с хоккейным клубом «Химик» города Мытищи, Московская область. В первом сезоне КХЛ, нападающий провел на площадке 40 матчей, забросив четыре шайбы и отдав семь результативных передач.
В сезоне 2009 - 2010 года, Александр Бумагин перешел в нижнекамский хоккейный клуб «Нефтехимик», а в октябре 2010 года, спортсмен вновь сменил клуб, оказавшись в составе новокузнецкого «Металлурга». Далее, по ходу сезона 2012 - 2013 года, игрок перешел в хоккейный клуб «Авангард» города Омск, где и доигрывал текущий сезон.
Следующий сезон, нападающий провел в череповецкой команде «Северсталь». Далее, в 2014 году, Бумагин отправился защищать цвета хоккейного клуба КХЛ «Автомобилист» города Екатеринбург, проведя в сезоне на площадке 43 матча, забросив восемь шайб и отдав четыре результативные передачи при восемнадцати минутах штрафного времени.
Впоследствии, два сезона подряд, Александр вновь провел в Тольятти, играя за хоккейный клуб «Лада». В 2017 году, спортсмен подписал контракт с череповецкой «Северсталью». На начало второй половины сезона 2017 - 2018 года, Бумагин Александр является нападающим хоккейного клуба Континентальной Хоккейной Лиги «Северсталь» города Череповец.