Андрей Бура родился 8 августа 1966 года в городе Екатеринбург Свердловской области. Вырос в семье военнослужащих, спортом начал заниматься в 5 лет в секции спортивной гимнастики. Становился победителем первенства родного города по лыжным гонкам, боксу. Обучаясь в школе, познакомился с японскими видами единоборств. Занимаясь в Специализированной детско-юношеской школе олимпийского резерва «Спартаковец» становился победителем финала всесоюзных соревнований «Золотая шайба» и «Кожаный мяч». В 1978 году начал заниматься каратэ-киокусинкай у тренеров Сергея Казанцева и Сергея Степанова.

После окончания школы поступил в Свердловский электромеханический техникум, где продолжил активно заниматься каратэ. Победитель Первенства города по зимнему многоборью. В составе сборных команд техникума побеждал на соревнованиях по волейболу, баскетболу, футболу в Первенствах города и области. Бронзовый призер первого Чемпионата России по каратэ. Получив диплом об окончании в 1985 году, призван на срочную службу в специальное подразделение воздушно-десантных войск, где шла подготовка бойцов для регулярных войск, выполняющих интернациональный долг в Афганистане. Чемпион и призер ВС СССР по каратэ.

Бура после демобилизации в 1987 году вернулся в город Екатеринбург и поступил на 404 завод гражданской авиации слесарем-сборщиком. Создал на общественных началах группу любителей каратэ и стал ее инструктором.

В 1991 году основал спортивный клуб «Идущие к солнцу», ставший постоянным местом его работы. В этом же году Андрей Владимирович создал федерацию каратэ-киокусинкай города Екатеринбург. В 1994 году избран Председателем Федерации Свердловской области, через два года возглавил Федерацию России. За годы работы в клубе подготовил большое количество мастеров спорта и спортсменов разрядников. Среди воспитанников: Чемпионы Мира и Европы Яков Зобнин и Олег Флорин, Чемпион Европы Вячеслав Лукоянов, обладатель Кубка Мира Яков Жбенев, призер Кубка Мира Владимир Тиунов.

В Московский государственный социальный университет поступил в 2000 году на юридический факультет. Через четыре года успешно окончил его. В 2001 году году избран в Думу города Екатеринбург от Октябрьского района по округу №16. Являлся заместителем председателя комиссии по бюджету и экономической политике, заместителем председателя комиссии по правоохранительной деятельности и вопросам военнослужащих.

С 2004 года возглавляет Попечительский Совет Екатеринбургского общественного объединения Клуба ветеранов войны, труда и спорта. В том же году стал Почетным выпускником Екатеринбургского электромеханического колледжа.

Андрея Владимировича в марте 2005 года избрали депутатом Екатеринбургской городской Думы по избирательному округу №20. Председатель комиссии по безопасности жизнедеятельности населения. Состоит в комиссии по бюджету и экономической политике. Инициатор и руководитель разработки  программы «Здоровое поколение города Екатеринбург», ставшей составной частью Стратегического плана развития города.

Обладатель 5 дана Международной Федерации Карате, IFK; черного пояса. Судья международной категории по каратэ-кекусинкай. Председатель ФКР.

За заслуги в спортивной деятельности удостоен званий «Заслуженный тренер Российской Федерации» и «Заслуженный наставник Российского Союза боевых искусств». Награжден почетным знаком «За заслуги в развитии физкультуры и спорта России» и нагрудным знаком «Отличник физической культуры и спорта».