Федор Бурсак родился в 1750 году в дворянской семье Антоновичей на Харьковщине. В юности обучался в Киевской бурсе, но оттуда бежал в Запорожскую Сечь, где по традиции получил новую фамилию-прозвище - Бурсак.
Участвовал рядовым казаком в русско-турецкой войне с 1768 по1774 год, в походах князя Потемкина в Крым. Отвага и храбрость выдвинули Федора Яковлевича в ряды офицеров. Бурсак одним из первых записался у Захария Чепеги в формировавшиеся команды «Войска верных казаков». В их составе неоднократно отличался при штурме Очакова, Гаджибея, Измаила. Александр Васильевич Суворов дал высокую оценку подвигам офицера, представив к награждению золотым знаком.
С поселением Черноморского войска на Кубани Бурсак избран войсковым казначеем и входил в число войсковой старшины. Назначенный 22 декабря 1799 года войсковым атаманом, Федор Яковлевич провел ряд мероприятий по благоустройству Екатеринодара и края, наладил добрососедские отношения с некоторыми горскими народами, открыл меновые дворы.
На восточной части эспланады Екатеринодарской крепости в 1803 году открыл первое на Кубани учебное заведение, которое спустя год было преобразовано в войсковое училище. В 1805 году при этом училище Федор Бурсак и протоиерей Кирилл Россинский открыли первую на Кубани библиотеку. Стараниями атамана казаки достроили деревянный войсковой собор, а вокруг него кирпичные флигеля для размещения холостяков из всех сорока куреней. Было принято основать на Кубани суконную фабрику, а вне города Екатеринодара - конезавод и овчарню.
В 1807 году началась война с Турцией и Бурсак совершал военные экспедиции за Кубань, защищая безопасность границ. Престарелый атаман в чине генерал-майора вышел в отставку в начале 1816 года.
Жизнь Федора Яковлевича Бурсака оборвалась внезапно: в 1827 году утонул в реке Кубань, тело генерал-майора так и не было найдено.