Раджаб Бутаев родился 15 декабря 1993 года в городе Хасавюрт, Дагестан. В ноябре 2012 года стал серебряным призером чемпионата России по боксу в весе до 64 кг. В июле 2013 года стал чемпионом летней Универсиады в Казани в весе до 64 кг. В августе 2014 года стал чемпионом России по боксу в весе до 69 кг в финале победив бронзового призера Олимпиады в Лондоне хабаровчанина Андрея Замкового.
В 2015 году успешно выступил в командном чемпионате Всемирной серии бокса победив во всех шести поединках и по итогам квалифицировался на Олимпийские игры в Рио-де-Жанейро. В одном из поединков одержал победу над очень титулованным кубинским боксером Роньелем Иглесиасом Сотолонго - действующим олимпийским чемпионом, бронзовым призером олимпийских игр в Пекине, чемпионом мира.
После спорного судейства в финале чемпионата России ноября 2015 года, перешел в профессионалы подписав контракт с американской промоутерской компанией Fight Promotions. Его дебют в профессионалах состоялся 25 марта 2016 года, когда Бутаев одержал победу нокаутом в 1-м раунде над американцем Робертом Сиямом.
В том же году 19 ноября в своем четвертом бою, Бутаев встретился с опытным венгерским боксером Габором Горбичем и победил его единогласным решением судей, попутно завоевав вакантный титул чемпиона Северной Америки по версии NABF в 1 среднем весе.