Дмитрий Бычков родился 9 июня 1978 года в Москве. С детства проводил много времени в горах на тренировочных сборах и экспедициях с отцом, Бычковым Анатолием Яковлевичем, который в будущем стал Главным тренером по альпинизму и Президентом «Союза альпинистов и скалолазов России».

В 10 лет Бычков начал заниматься скалолазанием в клубе «Эдельвейс» под руководством тренера Михаила Егоровича Сиваронова. Выполнил норматив «мастера спорта международного класса» по скалолазанию, заняв третье место на Чемпионате Мира 1997 года в городе Париж, Франция. За время выступлений многократно выигрывал Первенства Мира, Чемпионаты и Кубки России. 

С 1998 года начал занимается ледолазанием и в 1999 году выиграл первый Кубок Мира в Австрии. В 2002 году стал обладателем Большого Кубка Мира, параллельно работая тренером в Специализированной детско-юношеской спортивной школе олимпийского резерва №9. 

С 2001 по 2005 года занимал должность Председателя скального комитета в Федерации альпинизма и скалолазания города Москва. В рамках работы комитета выступал организатором крупных соревнований в городе Москва, включая Чемпионаты России и Кубок Мира. Создал систему клубных соревнований. С 2003 по 2011 год являлся руководителем клуба скалолазания в Государственном образовательном учреждении дополнительного образования спортивной направленности «Дворец детского спорта». 

В 2006 году вместе с коллективом энтузиастов создал Федерацию скалолазания. В рамках ее работы удалось сделать огромный шаг в развитии скалолазания в Москве, вывести в лидеры сборной России московских спортсменов, провести рад крупных соревнований на различных выставках, местах массового гуляния и городских праздниках.

В декабре 2006 года Дмитрия Анатольевича избрали Президентом Федерации скалолазания России. Под руководством Бычкова Федерация стала мировым лидером международного скалолазания. Проводятся международные соревнования самого высокого уровня, сборная России показывает высокие результаты на международных турнирах и выигрывает командный зачет на Первенствах и Чемпионатах Мира. 

С 1 апреля 2015 года занимает должность старшего тренера команды Центрального спортивного клуба Армии по скалолазанию. Помимо этого, является вице-председателем Комитета национальных и неолимпийских видов спорта (КННВС) и руководителем комиссии по экстремальным видам спорта.