Вячеслав Быков родился 24 июля 1960 года в городе Челябинск. В 15 лет стал играть за взрослую команду «Сельхозвузовец». В сезоне 1979-1980 дебютировал в первенстве СССР. Стал лучшим снайпером команды - 50 шайб в 60 матчах. В 1980-1982 годы выступал за «Трактор», в 1982-1990 годах - играл в ЦСКА, 1990-1998 - в швейцарском «Фрибур-Готтерон», 1998-2000 - в «Лозанне».
Заслуженный мастер спорта СССР, семикратный чемпион СССР 1983-1989. В чемпионатах СССР провел 430 матчей, забил 195 голов, набрал 365 очков.
По итогам сезона-1989/90 вошел в символическую сборную чемпионата СССР. В опросе по определению лучшего хоккеиста страны в 1986 году занял 5 место, в 1989 - 2, в 1990 - 3.
В сборной СССР дебютировал 8 сентября 1982 года в Братиславе в матче на приз «Руде право» с Чехословакией, где забросил первую шайбу в главной команде. В составе сборной СССР четырежды становился чемпионом мира. В 1988 году выиграл золотые медали Олимпиады в Калгари. Второе олимпийское золото получил в составе Сборной СНГ в 1992 году в Альбервиле. Свои последние золотые медали в качестве игрока завоевал в 1993 году в составе сборной России, будучи ее капитаном.
По окончании карьеры игрока работал тренером во «Фрибуре-Готтероне». С 28 апреля 2004 года по 4 апреля 2009 года работал главным тренером ЦСКА.
С 11 августа 2006 года по 26 мая 2011 года Быков занимал должность главного тренера сборной России по хоккею. В 2007 году на домашнем чемпионате мира сборная России под его руководством завоевала бронзовые медали, а в 2008 году на чемпионате мира в Канаде впервые за 15 лет выиграла титул чемпионов мира, защитив его через год в Швейцарии. Однако в 2010 году на хоккейном олимпийском турнире в Ванкувере Россия потерпела в 1/4 финала унизительное поражение от Канады со счетом 3:7, а на чемпионате мира в Германии уступила звание чешской сборной в финале. Через год в Словакии Россия и вовсе осталась без медалей, и 26 мая 2011 года Быков был отправлен в отставку с поста главного тренера сборной России, а причиной этого решения было названо «неудовлетворительное выступление сборной России на чемпионате мира 2011».
В 2004 году Быков был избран в Зал Славы отечественного хоккея. С 14 мая 2009 года, оставаясь тренером национальной сборной, возглавил клуб КХЛ «Салават Юлаев» и в сезоне 2009-2010 выиграл бронзовые медали чемпионата России, а уже в следующем сезоне 16 апреля 2011 года под его руководством клуб выиграл Кубок Гагарина. В конце апреля истек срок контракта, который так и не был продлен.
С 4 апреля 2014 года Быков стал главным тренером петербургского СКА, подписав контракт по системе 2+1. Уже в первом же сезоне под руководством Быкова СКА впервые в истории выиграл Кубок Гагарина. А 17 июня 2015 покинул клуб по семейным обстоятельствам.