Александр Чайковский родился 19 февраля 1946 года в городе Москва. Обучался по классу фортепиано в Центральной музыкальной школе, в 1965 поступил в Московскую консерваторию в классы композиции Тихона Хренникова и фортепиано Льва Наумова.
Окончив консерваторию в 1972 году, совершенствовался в аспирантуре, с 1976 года ведет преподавательскую деятельность на кафедре сочинения.
Чайковский - член Союза композиторов СССР с 1976 года, в 1985-1991 работал его секретарем по работе с творческой молодежью. С 1993 по 2002 год - советник по репертуару Мариинского театра. С 2001 по 2002 год - приглашенный профессор Санкт-Петербургской консерватории. С 2005 по 2008 занимал пост ректора Санкт-Петербургской государственной консерватории. С 2003 года по настоящий момент - художественный руководитель Московской филармонии.
Чайковский ведет активную композиторскую, педагогическую и музыкально-общественную деятельность, проводит многочисленные мастер-классы, участвует в жюри различных конкурсов. Он также является автором критических статей в ряде ведущих музыкальных журналов.
Одной из основных сфер интересов Чайковского является музыкальный театр. В его операх и балетах сочетаются драматические решения и современные сценические приемы. В инструментальной музыке композитор много работает в жанре концерта, где обнаруживает индивидуальное отношение к солирующему инструменту и его противопоставлению оркестру.
Так, виолончельный концерт Чайковского написан в форме вариаций, а Первый концерт для альта приближается по масштабности к симфонии. Собственно же симфонии композитора имеют ярко выраженные черты программности.
Сочинения композитора охватывают широкий круг жанров и сюжетов, от масштабных оркестровых и вокально-симфонических работ до комических опер.