Владимир Дашкевич родился 20 января 1934 года в городе Москва. Его отец, Дашкевич Сергей Леонидович, по происхождению дворянин; после революции, примкнув к большевикам, ушел из семьи. В 1938 году был репрессирован, в 1954 освобожден. Мать, Дашкевич Анна Ильинична, урожденная Шнеерсон, родилась в 1906 году в Сураже Черниговской губернии в еврейской семье.
В 1950 Дашкевич поступил в Московский институт тонкой химической технологии, по окончании которого получил диплом инженера-химика. После вуза, параллельно с работой по полученной специальности, учился музыке, посещая семинар самодеятельных композиторов. Занимался под руководством Филиппа Гершковича и Николая Каретникова.
В 1962 году Дашкевич получил второе высшее образование - музыкальное, окончив Музыкально-педагогический институт имени Гнесиных. В 1991-1993 годах возглавлял Союз композиторов Москвы. С 1993 года - председатель исполкома Международной ассоциации композиторских организаций.
Дашкевич много и плодотворно работает в кино. В 1973 году в фильме «Капля в море» впервые прозвучала его знаменитая «сказочная тема», ставшая музыкальной заставкой телепередачи «В гостях у сказки». Эта мелодия также использовалась в различных сюжетах «Ералаша», а в 1982 году - в фильме «Там, на неведомых дорожках…», в том числе в песне «Приходите в гости к нам», для которой Юлий Ким написал слова.
С 1979 года по 1986 год работал над музыкой для цикла фильмов «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона». Известность получила и написанная композитором главная тема к кинофильму «Собачье сердце».
Составители «Новейшей истории отечественного кино» характеризуют Владимира Дашкевича как композитора-актера, который «превосходно умеет соответствовать задачам игровым, театральным, стилизаторским». Эти качества, проявившиеся в дебютном «Бумбараше», были продолжены в других фильмах с участием Дашкевича.
В 1996-2008 годах Владимир Дашкевич был композитором в передаче «Джентльмен-шоу». Помимо симфонической музыки сочиняет песни и другие вокальные произведения на стихи Юлия Кима, а также русских и зарубежных поэтов. Сотрудничество с Еленой Камбуровой вылилось в вокальные циклы на стихи поэтов Серебряного века.