Аполлон Давидсон родился 23 августа 1929 года в деревне Ермаково, Красноярский край. Отец до революции был купцом и промышленником. В 1928 году выслан в первый раз в Восточную Сибирь, а затем с небольшими перерывами находился в ссылке до 1956 года. О матери А.Б.Давидсон вспоминал: «Мама поехала за ним в ссылку разделить его судьбу. Ссыльные называли ее декабристкой». В Сибири и родился Аполлон Борисович. Пережил блокаду Ленинграда, признан жертвой политических репрессий.
Окончил исторический факультет ЛГУ по специальности «история международных отношений» в 1953 году. Кандидат исторических наук. Доктор исторических наук. Профессор.
С 1956 года работал в Институте народов Азии АН СССР, с 1962 года - в Институте Африки, затем в Институте стран Азии и Африки при МГУ. Директор Центра африканских исследований Института всеобщей истории РАН. В 1994-1998 годах - директор Центра российских исследований Университета Кейптауна, был членом Сената этого университета.
Профессор Московского государственного университета. С 2003 года - профессор кафедры истории идей и методологии исторической науки исторического факультета НИУ ВШЭ. Учебные курсы: «Политическая история», «История и литература Серебряного века и российского зарубежья», «Творческая интеллигенция и власть», «Афроазиатизация мира в XXI веке»
Большинство научных публикаций посвящены новой и новейшей истории стран Африки. Крупнейший российский историк Тропической и Южной Африки. В 1981-1991 годах побывал в Эфиопии, Анголе, Лесото, Ботсване и по несколько раз - в Мозамбике, Замбии, Зимбабве и ЮАР. С 1977 года по 1994 год участвовал в советско-американских Дартмутских конференциях как эксперт по Африке.
Изучает также историю Британской империи и, являясь президентом Ассоциации британских исследований, проводит англо-российские коллоквиумы, руководит подготовкой сборников «Россия и Британия». Особенно активно велась работа в 2003 году, когда отмечалось 450-летие установления отношений России с Британией.
С 2002 года - главный редактор интернет-энциклопедии «Кругосвет», проекта, интегрирующего интеллектуальное наследие Востока и Запада, целевой аудиторией которого являются школьники, студенты, молодые специалисты.
Член ученых советов ИВИ РАН, факультета политологии и факультета истории НИУ ВШЭ; со-президент Общества Доброй Надежды, член Союза писателей Москвы, член Союза журналистов, член Южноафриканского Института расовых отношений, член Южноафриканского исторического общества. Вице-президент ассоциации африканских и арабских исследователей. Член редколлегий журналов «Азия и Африка сегодня», «Восток» и «Новая и новейшая история». В 2015 году стал лауреатом премии имени Е.В.Тарле РАН за монографию «Очерки евразийской интеграции».