Рашит Давыдов родился 14 июня 1969 года в городе Воскресенск, Московская область. Хоккеем начал заниматься с семи лет в родном городе у тренера П.Ф. Жулина. В 14 лет привлекается в юношескую сборную СССР, в ее составе принимал участие в турне по Канаде. В ходе этого турне сборная встречалась с командами, где возраст игроков значительно превышал возраст советских хоккеистов. В следующем году еще раз отправился в Канаду на аналогичные соревнования.

В 1987 году уехал в город Казань Республики Татарстан, армейские годы провел в городе Тверь, где выступал за команду первой лиги «СКА МВО». По возвращении в город Казань принял приглашение от Пензенского клуба «Дизелист», где на долгие годы стал основным вратарем.

Завоевал титул Чемпиона Мира по хоккею среди полицейских. В 2004 году в составе команды МВД отправился в город Давос, где в финале турнира обыграл чехов со счетом 3:2. Является победителем Всемирных игр полицейских и пожарных 2005 года, проходивших в городе Квебек.

Обладатель Кубка Гагарина 2012 года в качестве тренера клуба «Динамо». Через два года, с приходом на пост главного тренера сборной России Олега Знарока, стал тренером вратарей сборной России. По совместительству, является тренером вратарей клуба «СКА», выступающего в Континентальной хоккейной лиге.

На проходящих в Корее, XXIII зимних Олимпийских Играх, Сборная России по хоккею одержала победу в финальном матче состоявшимся 25 февраля 2018 года, против сборной команды Германии со счетом 4-3, и тем самым завоевав звание Олимпийских чемпионов.