Евгений Доможиров родился 28 июля 1974 году в городе Вологда. Учился в школе № 30 города Вологды в 1980-1989 годах. После окончания 8 класса в 1989-1992 годах учился в СПТУ № 18 г. Вологды по специальности «Повар-кондитер». После окончания СПТУ занялся предпринимательской деятельностью по направлению розничная торговля. В 1999 году поступил на заочное отделение Вологодского государственного технического университета по специальности «государственное и муниципальное управление», окончив его в 2005 году. В 2007 был помощником Михаила Сурова на выборах в законодательное собрание Вологодской области.
С 2007 года занялся грузоперевозками, связанными со строительством шоссейных и поселковых дорог, благоустройством дворовых территорий города. В 2009 году возглавил Вологодскую областную общественную организацию «Союз защиты предпринимателей». С мая 2010 года стал Председателем Вологодского областного правозащитного общественного движения «Вместе: Свобода, Собственность, Ответственность» и членом партии «Справедливая Россия».
В 2010 году Доможиров основал движение «Вместе: Свобода, Собственность, Ответственность», одной из главных целей которого являлась борьба с коррупцией в муниципальных органах власти города Вологды. В том же году он баллотировался в Вологодскую городскую Думу по избирательному округу № 13. В ходе кампании встречал противодействие со стороны милиции. По итогам выборов он занял второе место, получив 22,74 % голосов. 29 апреля 2011 года возглавляемое Доможировым движение «Вместе» учредило премию «Волшебный пендель», лауреатами которой стали глава города Е.Шулепов, партия «Единая Россия» и начальник Департамента городского хозяйства города Вологды А.Ф.Осокин со своими заместителями.
Осенью 2011 года Доможиров принял решение баллотироваться в депутаты Законодательного Собрания Вологодской области по Заречному одномандатному округу № 2. Во время одного из предвыборных митингов в рамках «Стратегии-31», 31 октября 2011 года он вступил в столкновение с сотрудниками полиции, пытаясь воспрепятствовать задержанию товарища. Было возбуждено уголовное дело.
В 2011 году 4 декабря Доможиров был избран депутатом Законодательного Собрания Вологодской области, набрав 24,30 % голосов. До него депутатом по этому округу был погибший в автокатастрофе за полгода до выборов Михаил Суров. Во время избирательной кампании стало известно, что двое соратников Доможирова по движению «Вместе» являются учредителями фирмы, не достроившей жилой дом на улице Трактористов в Вологде, в результате чего возникло наиболее известное в Вологде движение обманутых дольщиков.