Игорь Дробышев родился 10 ноября 1955 года в поселке Быков Сахалинской области. Вырос в семье шахтеров. Вместе с родителями жил в Горназаводске, Ударном и Взморье. Школу окончил во Взморье. Во время учебы в школе активно занимался беговыми лыжами и плаванием.
После школы поступил на вечернее отделение техникума по специальности ПГС (промышленно-гражданское строительство) в город Владивосток, который окончил в 1975 году. Учебу в техникуме совмещал с работой. После окончания учебы вернулся на Сахалин и ушел на 2 года в армию.
После демобилизации уехал жить в город Невельск, но спустя 2 года переехал в Южно-Сахалинск. В новом городе работал на заводе имени Федотова, где прошел путь от мастера до начальника цеха. Далее работал заместителем председателя по строительству в «Агропромхимии». В 1987 году ушел в первый на Сахалине строительный кооператив. В 1990 году получил высшее образование, окончив ХабИИЖТ (Хабаровский институт инженеров железнодорожного транспорта) по специальности ПГС.
С получением высшего образования решил создать свою фирму. На сегодняшний день Игорь Владимирович является генеральным директором ООО «СтройПлюс» и ООО «СтройИнтер». Не смотря на свою рабочую занятость, не забывает и про занятия спортом. Долгое время занимался йогой, посещал секцию айкидо. В свое свободное время любит активный отдых и охоту.
Кроме всего Игорь Владимирович ведет благотворительную деятельность.