Александр Думчиков родился 16 июня 1973 года в городе Макеевка, Украина. Окончил среднюю школу. В 1994 году окончил Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище. С августа 1994 года служил в 21-й отдельной воздушно-десантной бригаде ВДВ в должности командира разведывательного взвода.
Думчиков принимал непосредственное участие в боевых действиях на территории Чеченской Республики. При штурме Грозного в период с 2 по 12 января 1995 года лично уничтожил 28 боевиков, в том числе 6 снайперов.
Во время операции по взятию здания университета, 12 января 1995 года, одним из первых ворвался в здание с передовой группой из 4 бойцов. Уничтожив противостоящих боевиков, группа ворвалась на второй этаж, чтобы уничтожить «дудаевцев», которые вели огонь из окон по другим штурмовым группам. Однако в разгар боя по рации поступил приказ на отход: из-за мощного сопротивления врага было решено применить по зданию авиацию.
Лейтенант Александр Думчиков приказал своим бойцам отходить, а сам остался прикрывать их отход. Поняв, что лейтенант ведет бой один, боевики окружили его. С боем прорвался обратно на первый этаж, уничтожив по дороге боевика-гранатометчика, однако на первом этаже получил одно за другим три пулевых ранения - в ногу, в лопатку и в плечо. Истекая кровью, лейтенант Думчиков выбрался через окно наружу.
Прорваться к своим уже не было возможности. Площадь находящаяся перед зданием простреливалась ураганным огнем врага. Думчикова Александра спас майор Александр Пегишев, также прикрывавший огнем отход своих подчиненных и отрезанный от своих. Под огнем перетащил потерявшего сознание лейтенанта Думчикова в глубокую воронку и отбил несколько попыток «дудаевцев» захватить офицеров живыми.
Александр Думчиков несколько раз терял сознание, приходя в себя, снаряжал магазины для майора Пегишева и сам вел огонь по врагу. Ночью Пегишев перетащил Думчикова на листе железа к середине площади, где огонь российских войск не позволял «дудаевцам» захватить раненного, сам отправился за подкреплением. Утром 13 января десантники на танке прорвались в указанное майором Пегишевым место и вывезли к своим Александра Думчикова.
За мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания, Указом Президента Российской Федерации от 15 мая 1995 года лейтенанту Думчикову Александру Павловичу присвоено звание Героя РФ с вручением медали «Золотая Звезда».