Генрих Эйхе родился 29 сентября 1893 года в городе Рига, Латвия. В 1914 году окончил Рижское коммерческое училище, в 1915 году Петергофскую школу прапорщиков. Участник первой мировой войны, командовал ротой, штабс-капитан.
После Февральской революции 1917 года избран членом полкового комитета. С октября 1917 года являлся председателем Военно-революционного комитета пехотного полка. В ноябре 1917 года избран членом Совета солдатских депутатов 10-й армии, одновременно состоял членом коллегии по формированию Красной Гвардии.
Участвовал в ликвидации Довбор-Мусницкого мятежа в 1918 году. В 1918-1919 годах командовал стрелковым полком, бригадой и 26-й стрелковой дивизией на Восточном фронте.
С ноября 1919 года был командующим 5-й армией, которая участвовала в Новониколаевской и Красноярской операциях Восточного фронта, завершивших разгром колчаковских войск. С марта 1920 года по апрель 1921 года был главнокомандующим Народно-революционной армии Дальневосточной Республики.
В период командования НРА внес существенный вклад в формирование из разрозненных партизанских отрядов частей регулярной Красной Армии.
В 1921-1923 годах командовал войсками Минского района, в 1922-1923 годах - Ферганской группой войск, действовавшей против басмачей. С 1924 года на ответственных должностях в Наркомвнешторге СССР.
В мае 1938 года был арестован и осужден ОСО НКВД по ложному обвинению в участии в латышской контрреволюционной организации. После приговора сначала был заключен в тюрьму НКВД в Лефортово в Москве, где на допросах подвергался избиениям и пыткам, а затем отбывал срок в лагерях.
После освобождения из лагерей находился в ссылке на Крайнем Севере. В частности, с 1948 по 1949 год работал бухгалтером в совхозе «Каменка», недалеко от Печоры. Реабилитирован через 16 лет. В апреле 1954 Военная Коллегия Верховного суда СССР отменила постановление ОСО и прекратила дело за отсутствием состава преступления.
Вернувшись после освобождения в Москву, активно работал как военный историк, много сил и времени уделял рецензированию военно-исторической литературы, являясь членом Совета военно-научного общества при Центральном музее Советской Армии. Автор ряда работ по истории Гражданской войны в Сибири и на Дальнем Востоке.
Умер 25 июля 1968 года. Похоронен в Москве на Введенском кладбище.
Награжден орденом Ленина, двумя орденамии Красного Знамени, медалями.