Леонид Екимов родился 13 сентября 1987 года в городе Новодвинск, Архангельская область. По словам самого спортсмена, первое знакомство со стрелковым спортом произошло в 1998 году, когда он вместе со своими друзьями пришел в тир родного города для развлечения.
Вскоре его друзья покинули секцию, а Леониду стрельба понравилась, к тому же тренер, Александр Петрович Поздеев, разглядел в 11-летнем мальчике хорошие способности. В 2003 году Леонид Екимов вошел в состав национальной сборной России по стрельбе.
В 2008 году он принял участие в Олимпийских играх в Пекине в двух видах стрельбы: из пневматического и скоростного пистолета, заняв 6 и 4 места соответственно.
Несмотря на то, что в соревнованиях такого высокого класса Леонид выступал впервые, он рассчитывал на лучший результат и был разочарован, остановившись в шаге от медалей. Однако, во всех неудачах Леонид винит только себя.