Мусса Экзеков 13 августа 1964 года в городе Красный Восток, Ставропольский край. После учебы в Ленинградском технологическом институте работал главным технологом на заводе химико-лабораторных приборов «Дружная горка» в одноименном поселке в Ленинградской области. Защитил кандидатскую, а затем и докторскую диссертации по проблемам синтеза новых композиционных материалов.
В 1998 году Экзеков основал девелоперскую компанию ОАО «Соломон», занимающуюся проектами в сфере коммерческой недвижимости. С начала 2000 годов компания занялась развитием территории недостроенной ткацко-прядильной фабрики «Искра» на проспекте Энгельса в Санкт-Петербурге. Земельный участок площадью 30 гектар осваивали постепенно. В 2006 году на этом участке открылся торгово-развлекательный комплекс «Гранд Каньон», затем фитнес-центр «Лидер», детский театр «Плоды Просвещения», детский комплекс «Дивный город», бизнес-центр, ледовая арена, мебельный центр. К 2007 году общая площадь построек приблизилась к 200 тысячам квадратных метров. ТРК «Гранд Каньон» вошел в сотню наиболее качественных, по мнению экспертов рынка, торгово-развлекательных комплексов России. В торговом центре проводятся театральные марафоны и другие крупные культурные мероприятия «Северной столицы». В 2016 году, скупив долги собственников, Экзеков взял под контроль две крупнейшие овощебазы Санкт-Петербурга и Ленинградской области общей площадью 95 тысяч квадратных метров.
В 2011 году Экзеков стал Президентом Международного объединения по развитию абазино-абхазского этноса «Алашара». По его инициативе была принята долгосрочная программа развития народа. В абазинских аулах начали создаваться Общественные советы. Первый такой консультативный орган возник в селе Красный Восток. За прошедшие годы Мусса многое сделал для своих земляков: это ремонт и строительство домов, спортивных площадок, приобретение лечебного оборудования для медучреждений, содействие молодым специалистам, продвижение народных талантов. Эта деятельность получила высокую оценку Главы Карачаево-Черкесии Темрезова. Особо отмечено создание этнокультурного парка в селе Красный Восток, вокруг целебного минерального источника. Началось возведение нового современного дворца спорта «Алашара».
При поддержке Экзекова издан сборник песен Галины Гожевой «Музыкой душа моя согрета», в который вошли и абазинские народные мелодии, а также вышли в свет две книги, посвященные 70-летию Победы: «Подвиги героев Абазашты», где собраны документальные описания подвигов абазин-фронтовиков, и «Вечная слава героям», в которой опубликованы списки всех участников Великой Отечественной войны из абазинских аулов. Весом его вклад в издание первого в КЧР учебника-хрестоматии «Абазинская детская литература».
Является основателем детской спортивной академии «Лидер» в Санкт-Петербурге. В этом учреждении работает более 15 спортивных секций, а также несколько детских творческих коллективов. Воспитанники академии принимают участие в крупнейших российских и международных соревнованиях. Именем Экзекова назван Международный турнир по вольной борьбе. По инициативе и при содействии Экзекова в Санкт-Петербурге в 2009 году был открыт памятник Дмитрию Шостаковичу.